Lokalna kwantowa teoria pola

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Lokalna kwantowa teoria pola zwana również algebraiczną kwantową teorią pola jest sformułowaniem kwantowej teorii pola, w którym podstawowymi obiektami są *-algebry stowarzyszone z otwartymi podzbiorami czasoprzestrzeni spełniającymi pewne własności. Pierwotna wersja tej teorii obowiązująca jedynie w płaskiej przestrzeni została przedstawiona przez Haaga i Kastlera w 1964 roku. Obecnie podejście to stosuje się do dowolnej globalnie hiperbolicznej rozmaitości pseudoriemannowskiej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Współcześnie lokalną (kowariantną) kwantową teorię pola deinuje się wykorzystując język teorii kategorii. Kluczową rolę odgrywają kategorie \mathfrak{Man} oraz \mathfrak{Alg}. Kategoria \mathfrak{Man} składa się z klasy obiektów Obj(\mathfrak{Man}), do której należą wszystkie globalnie hiperboliczne, zorientowane, czasowo zorientowane pseudoriemannowskie czasoprzestrzenie (M,g). Dla dowolnych dwóch obiektów (M_1,g_1) oraz (M_2,g_2), klasa morfizmów  hom_{\mathfrak{Man}}((M_1,g_1),(M_2,g_2)) składa się z izometrycznych zanurzeń \psi: (M_1,g_1) \rightarrow (M_2,g_2), która spelnia ponadto następujące warunki:

  1. dowolna krzywa kauzalna w (M_2,g_2), której końce są obrazami punktów z M_1 względem morfizmu  \psi , jest obrazem pewnej krzywej kauzalnej w (M_1,g_1)
  2.  \psi zachowuje orientację i orientację czasową

Klasą obiektów Obj(\mathfrak{Alg}) są unitalne *-algebry, natomiast morfizmami w tej kategorii są wierne *-homomorfimzy zachowujace identyczność.

Lokalną (kowariantną) kwantową teorią pola nazywamy funktor kowariantny  \mathcal{A} pomiędzy kategoriami \mathfrak{Man} oraz \mathfrak{Alg}. Warunek kowariantności oznacza, że dla dowolnych morfizmów  \psi_1 \in hom_{\mathfrak{Man}}((M_1,g_1),(M_2,g_2)) oraz  \psi_2 \in hom_{\mathfrak{Man}}((M_2,g_2),(M_3,g_3)) zachodzą następujące równości:  \alpha_{\psi_1} \otimes  \alpha_{\psi_2} =  \alpha_{\psi_1 \otimes \psi_2} ,  \alpha_{id_{(M,g)}} = id_{\mathcal{A}(M,g)}, gdzie  \alpha_\psi oznacza  \mathcal{A}_\psi .

Lokalna (kowariantna) kwantowa teoria pola określona przez funktor \mathcal{A} nazywana jest przyczynową wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych morfizmów   \psi_j \in hom_{\mathfrak{Man}}((M_j,g_j),(M,g)),~j=1,2, takich, że \psi(M_1) oraz \psi(M_2) są przyczynowo rozdzielone zachodzi:  [ \alpha_{\psi_1}(\mathcal{A}((M_1,g_1))) , \alpha_{\psi_2}(\mathcal{A}((M_2,g_2)))  ] =0 , gdzie  [A,B] = \{ a b - b a : a \in A, b \in B \} .

Lokalna (kowariantna) teoria pola określona przez funktor \mathcal{A} spełnia aksjomat ewolucji wtedy i tylko wtedy, gdy  \alpha_\psi (\mathcal{A}(M,g)) = \mathcal{A}(M',g') dla dowolnego  \psi \in hom_{\mathfrak{Man}}((M,g),(M',g')) , takiego, że  \psi(M) zawiera powierzchnię Cauchy'ego dla  (M',g') .

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Lokalna kwantowa teoria pola jest uniwersalnym językiem, który pozwala na precyzyjny opis efektów kwantowych zachodzących w płaskiej lub zakrzywionej czasoprzestrzeni. Najbardziej znaną klasą modeli, dających się sformułować w tym języku są tzw. swobodne kwantowe teorie pola. Podejście to stosuje się również do oddziałujących kwantowych teorii pola, jednak, jak dotąd, są one zdefiniowane jedynie formalnie. Jest ono szczególnie użyteczne w przypadku kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Haag, Kastler. An algebraic approach to quantum field theory. „Journal of Mathematical Physics”. 5, s. 848–861, 1964. 
  • Brunetti, Fredenhagen, Verch. The generally covariant locality principle – A new paradigm for local quantum field theory. „Communications in mathematical physics”, s. 31-68, 2003. 
  • Haag: Local quantum physics. Berlin: Springer-Verlag, 1992.