Lokalny homeomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Lokalny homeomorfizm – takie przekształcenie f: XY przestrzeni topologicznych, że dla każdego xX istnieje takie otoczenie UxX punktu x, że

f|Ux: Ux Y

jest homeomorfizmem na otwarty podzbiór przestrzeni Y[1].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Powierzchnia Riemanna pierwiastka sześciennego z liczby zespolonej.
  • Każdy homeomorfizm jest lokalnym homeomorfizmem.
  • Twierdzenie Poincarégo-Volterry:
Jeśli Y jest lokalnie zwartą i lokalnie spójną przestrzenią o bazie przeliczalnej, a X jest spójną przestrzenią Hausdorffa oraz p: XY jest lokalnym homeomorfizmem, to przestrzeń X jest także lokalnie zwartą i lokalnie spójną przestrzenią o bazie przeliczalnej[2].
  • Projekcja snopa jest lokalnym homeomorfizmem.
  • Nakrycie jest lokalnym homeomorfizmem[3].
  • Przekształcenie φ: ℝ → ℂ określone wzorem
φ(x) = eix
jest lokalnym homeomorfizmem prostej rzeczywistej na okrąg jednostkowy |z| = 1. Można je interpretować jako nawijanie prostej na okrąg.
  • Dla dowolnej niezerowej liczby naturalnej n, przekształcenie
zzn
jest lokalnym homeomorfizmem ℂ \ {0} → ℂ \ {0}.
w = ∛̅z
na płaszczyznę zespoloną jest homeomorfizmem lokalnym[4].

Przypisy

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1975, s. 352.
  2. Николя Бурбаки: Oбщая топология. Основные структуры. Moskwa: Наука, 1968, s. 180-181. (ros.)
  3. Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: PWN, 1991, s. 137-139.
  4. Borys Szabat: Wstęp do analizy zespolonej. Warszawa: PWN, 1974, s. 175-177.