MSK

MSK (ang. Minimum Shift Keying) – odmiana modulacji FSK fal elektromagnetycznych stosowana do przesyłu informacji w telekomunikacji. Jest to w praktyce modulacja CPFSK (ang. Continuous Phase FSK), czyli kluczowanie częstotliwości z ciągłą fazą. Charakteryzuje się dobrymi właściwościami energetycznymi.

W cyfrowej modulacji czestotliwościowej, wartościom "0" i "1" odpowiadają dwa sygnały o różnych częstotliwościach:

$S_{1}(t)=A\cos[\omega_{1}t+\phi(0)]\,$ (1a)

$S_{0}(t)=A\cos[\omega_{2}t+\phi(0)]\,$ (1b)

gdzie

$\phi(0)$ jest fazą początkową sygnału (dla $t=0$)

Dla modulacji MSK, możemy wyrazić wzór ogólny sygnału zmodulowanego:

$S(t)=A\cos[\omega_{0}t+\phi(t)]\,$ (2)

gdzie

$\phi(t)=\phi(0)+at\,$ dla sygnału "1" oraz $\phi(t)=\phi(0)-at\,$ dla sygnału "0".

We wzorze tym, zmienną $a$, zwaną indeksem modulacji, definiujemy następująco:

$a={\pi \over T_{b}} h\,$, co przy założeniu $h=T_{b}(f_{1}-f_{2})\,$ sprowadza się do postaci:

$a={\pi \over T_{b}} T_{b}(f_{1}-f_{2})={1 \over 2}(\omega_{1}-\omega_{2})\,$

wtedy:

$\phi(t)=\phi(0) \pm {1 \over 2}(\omega_{1}-\omega_{2}) t$ (3)

Jeśli założymy $\omega_{0}={1 \over 2}(\omega_{1} - \omega_{2})$ oraz, dla uproszczenia, przyjmiemy fazę początkową równą 0, możemy sprowadzić zależność (2) do wzorów:

$S_{1}(t)=A\cos\left[{1 \over 2}(\omega_{1}+\omega_{2})t+{1 \over 2}(\omega_{1}-\omega_{2})t\right]=A\cos(\omega_{1}t)$

$S_{0}(t)=A\cos\left[{1 \over 2}(\omega_{1}+\omega_{2})t-{1 \over 2}(\omega_{1}-\omega_{2})t\right]=A\cos(\omega_{2}t)$

Aby zapewnić ortogonalność sygnałów reprezentujących "0" i "1", należy tak dobrać częstotliwości $f_{1}$ i $f_{2}$, aby spełniały następujący warunek:

$\Delta fT_{b}=h={1 \over 2}n$, $n=1,2,3\dots$

Jak widać $n_{min}=1$, więc najmniejsza różnica częstotliwości, to różnica o pół cyklu w jednym okresie $T_{b}$. Własnie taki przypadek zachodzi w modulacji MSK.

Ostatecznie, możemy zapisać dla modulacji MSK:

$\phi(t)=\phi(0) \pm {\pi \over 2T_{b}}t$

$S(t)=A\cos\phi(t)\cos(\omega_{0}t)-A\sin\phi(t)\sin(\omega_{0}t)\,$

człon $\cos\phi(t)\,$ nazywamy składową synfazową i oznaczamy poprzez I(t), a człon $\sin\phi(t)\,$ – składową kwadraturową Q(t).

Fazę sygnału zmodulowanego możemy odczytać z tzw. wykresu kratowego fazy:

Przykład wykorzystania wykresu kratowego

Jak widać z wykresu kratowego, dla parzystych bitów faza początkowa wynosić może 0, $\pi$ lub $-\pi$, wtedy:

$\phi(0)=0 \Rightarrow I(t)=\cos\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)$

$\phi(0)=\pi \vee \phi(0)=-\pi \Rightarrow I(t)=-\cos\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)$

Dla nieparzystych bitów, faza początkowa może wynosić $+\pi/2$ lub $-\pi/2$:

$\phi(T_{b})=+{\pi \over 2} \Rightarrow Q(t)=\sin\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)$

$\phi(T_{b})=-{\pi \over 2} \Rightarrow Q(t)=-\sin\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)$

Aby określić diagram konstalacji modulacji MSK, zapiszmy sygnał zmodulowany w postaci:

$S(t)=\sqrt{E_{b}}\Phi_{1}(t)-\sqrt{E_{b}}\Phi_{2}(t)$

we wzorze tym,

$\Phi_{1}(t)=\sqrt{{2 \over T {b}}}\cos\phi(t)\cos(\omega_{0}t)$,

$\Phi_{2}(t)=\sqrt{{2 \over T {b}}}\sin\phi(t)\sin(\omega_{0}t)$

	$\phi(0)$	znak $\Phi_{1}$	$\phi(T_{b})$	znak $\Phi_{2}$	znak $-\Phi_{2}$	Przesyłane bity
1	0	+	$\pi/2$	+	–	1
2	$\pi$	–	$\pi/2$	+	–	0
3	$\pi$	–	$-\pi/2$	–	+	1
4	0	+	$-\pi/2$	–	+	0

Na podstawie powyższej tabeli, utworzyć można diagram konstalacji dla modulacji MSK:

Modulację MSK cechuje dużo węższe widmo częstotliwościowe niż QPSK/BPSK. MSK jest więc znacznie oszczędniejsza energetycznie. Dzięki temu jest powszechnie stosowana w telekomunikacji (zwłaszcza GMSK).

Schemat modulatora MSK

Sygnał na wejściu filtrów pasmowych:

$y(t)=\cos\omega_{0}t\cos\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)={1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}-{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]+{1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}+{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]$

$\Phi_{1}(t)={1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}+{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]+{1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}+{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]=\cos\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)\cos(\omega_{0}t)$

$\Phi_{1}(t)={1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}-{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]+{1 \over 2}\cos\left[\left(\omega_{0}+{\pi \over 2T_{b}}\right)t\right]=\sin\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)\sin(\omega_{0}t)$

$S(t)=m_{I}(t)\cos\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)\cos(\omega_{0}t)-m_{Q}(t)\sin\left({\pi \over 2T_{b}}t\right)\sin(\omega_{0}t)$

Zobacz też

• GMSK