Macierz Hadamarda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Macierz Hadamarda to macierz kwadratowa, której elementami są wartości ±1 (czyli +1 lub -1) oraz której kolumny są parami ortogonalne. Nazwa macierzy pochodzi od nazwiska matematyka francuskiego Jacques'a Hadamarda.

Macierz Hadamarda zwykle oznacza się symbolem  H z indeksem np.  H_8 .

Przykłady[edytuj | edytuj kod]


H_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\ 
H_2 = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1 \end{bmatrix}
,\ 
H_4 = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}
 H_8 = \begin{bmatrix} 
1 &  1 &  1 &  1 & 1 &  1 &  1 &  1\\ 
1 & -1 &  1 & -1 & 1 & -1 &  1 & -1\\ 
1 &  1 & -1 & -1 & 1 &  1 & -1 & -1\\ 
1 & -1 & -1 &  1 & 1 & -1 & -1 &  1\\ 
1 &  1 &  1 &  1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 
1 & -1 &  1 & -1 & -1 &  1 & -1 &  1\\ 
1 &  1 & -1 & -1 & -1 & -1 &  1 &  1\\
1 & -1 & -1 &  1 & -1 &  1 &  1 &  -1\\

\end{bmatrix}
 H_{12} = \begin{bmatrix} 
++++++&-+++++\\ 
+++--+&+-+--+\\
++++--&++-+--\\
+-+++-&+-+-+-\\
+-++++&+--+-+\\
++--++&++--+-\\
 & \\
-+++++&------\\
+-+--+&---++-\\
++-+--&----++\\
+-+-+-&-+---+\\
+--+-+&-++---\\
++--+-&--++--\\
\end{bmatrix}

W powyższej macierzy +\; oznacza liczbę 1\; natomiast -\; liczbę -1.\;

 \vdots

Macierz Hadamarda wymiaru  2n można uzyskać z macierzy Hadamarda wymiaru  n za pomocą wzoru:


 H_{2n} = 
\begin{bmatrix} H_{n} & H_{n} \\ H_{n} & -H_{n} \end{bmatrix}

Macierze  H_2, H_4, H_8 zostały skonstruowane powyższą metodą, natomiast macierz  H_{12} nie (nie ma macierzy Hadamarda rzędu 6).

Właściwości macierzy Hadamarda[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J. Hadamard, Résolution d'une question relative aux déterminants, Bull. Sci. Math. 2, 240-246, (1893).
  • J. J. Sylvester, Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign-Successions, and Tesselated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton's Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers, London Edinburgh and Dublin, Philos. Mag. and J. Sci. 34, 461-475, (1867).

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]