Macierz Jacobiego

Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Carla Gustawa Jacobiego, który je wprowadził (niezależnie pojęcie to badał Michaił Ostrogradski).

Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile istnieje.

Definicja

Niech $U\;$ oznacza otwarty podzbiór przestrzeni euklidesowej $\mathbb R^n.$ Niech ponadto dana będzie funkcja $\mathrm f = (f_1, \dots, f_m)$ zbioru $U\;$ w przestrzeń $\mathbb R^m,$ której $m\;$ składowych stanowią funkcje $f_i\;$ zbioru $U\;$ o wartościach rzeczywistych. Jeżeli funkcja $\mathrm f\;$ ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie $\mathrm x \in U,$ to macierzą Jacobiego $\mathbf J_\mathrm f(\mathrm x)$ funkcji $\mathrm f$ w punkcie $\mathrm x$ nazywa się macierz daną wzorem

$\left[\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\mathrm x)\right]_{i, j}$

Obok zależnej od punktu macierzy $\mathbf J_\mathrm f(\mathrm x)$ można rozpatrywać macierz $\mathbf J_\mathrm f$ postaci

$\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

Jeśli $m = n,\;$ to macierz jest kwadratowa. Wówczas można rozpatrywać wyznacznik macierzy Jacobiego, który nazywa się wtedy jakobianem i oznacza $\det \mathbf J_\mathrm f$ lub $|\mathbf J_\mathrm f|$ bądź mniej standardowo:

$\frac{\partial(f_1, \dots, f_n)}{\partial(x_1, \dots, x_n)} \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \frac{\partial \mathrm f}{\partial \mathrm x}.$

Macierz Jacobiego można postrzegać jako wektor gradientów funkcji składowych $f_i$ funkcji $\mathrm f,$ tzn.

$\begin{bmatrix} \nabla f_1 \\ \vdots \\ \nabla f_m \end{bmatrix}$

Macierz Jacobiego można również przedstawić jako transpozycje iloczynu tensorowego operatora nabla i funkcji f : $\nabla f=\nabla\otimes f = (\mathbf J_\mathrm f)^T$

Związek z pochodnymi

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest w pewnych współrzędnych za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja $\mathrm f$ jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie $\mathrm p \in U,$ to macierzą przekształcenia liniowego, którym jest jej pochodna Frécheta $\operatorname D\mathrm f(\mathrm p),$ jest macierz Jacobiego $\mathbf J_\mathrm f(\mathrm p)$ funkcji $\mathrm f\;$ w punkcie $\mathrm p.\;$

Macierz Jacobiego jest kwadratowa, gdy pochodna jest endomorfizmem; jeśli jest odwracalna (jej wyznacznik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem. Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła) – mówi się wtedy, że jest ona klasy $\mathcal C^1.$

Mimo wszystko funkcja $\mathrm f$ nie musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie $\mathrm p,$ by macierz Jacobiego $\mathbf J_\mathrm f(\mathrm p)$ była określona – wymaga się jedynie istnienia pochodnych cząstkowych funkcji $\mathrm f$ w punkcie $\mathrm p.$ Oznacza to, że funkcja $\mathrm f$ jest różniczkowalna co najwyżej w dowolnym kierunku, tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego $\mathbf v$ istnieją pochodne $\tfrac{\partial \mathrm f}{\partial \mathbf v}(\mathrm p)$.

Powyższe obserwacje uzasadniają, iż w pewnym sensie tak gradient, jak i macierz Jacobiego można traktować jak „pierwsze pochodne” – gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych, a macierz Jacobiego to pierwsza pochodna funkcji wektorowej wielu zmiennych. W ten sposób w ogólności gradient można uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego.

Macierz Jacobiego gradientu nosi własną nazwę: macierz Hessego, która jest w pewnym sensie „drugą pochodną” danej funkcji skalarnej wielu zmiennych.

Własności

Macierz Jacobiego ma wszystkie własności macierzy związanych z przekształceniami liniowymi. W szczególności dla funkcji różniczkowalnej w sensie Frécheta za pomocą macierzy Jacobiego można wyrazić takie własności jak twierdzenie o funkcji odwrotnej, czy twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Przykłady

Przykład 1.

Niech dane będzie przekształcenie $\mathrm f = (f_1, f_2)\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R^2,$ gdzie

$f_1(x, y) = x^2 + xy^3,\;$

$f_2(x, y) = xy + 1.\;$

Jego jakobian wynosi

$\begin{align} \det \mathbf J_\mathrm f & = \begin{vmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{\partial (x^2 + xy^3)}{\partial x} & \frac{\partial (x^2 + xy^3)}{\partial y} \\ \frac{\partial (xy + 1)}{\partial x} & \frac{\partial (xy + 1)}{\partial y} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x + y^3 & 3xy^2 \\ y & x \end{vmatrix} \\ & = 2x^2 + xy^3 - 3xy^3 = 2x^2 - 2xy^3. \end{align}$

Przykład 2.

Dla odwzorowania $\mathrm f\colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^2$ danego wzorem

$\mathrm f(x, y, z) = (\cos x, \sin x \cos y)\;$

jego macierz Jacobiego to

$\mathbf J_\mathrm f = \begin{bmatrix} -\sin x & 0 & 0 \\ \cos x \cos y & -\sin x \sin y & 0 \end{bmatrix}.$

Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.

Zobacz też

• macierz Hessego – macierz Jacobiego gradientu
• operator Laplace'a (laplasjan)
• macierz Wrońskiego (fundamentalna)
• odwzorowanie styczne

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1. Warszawa: PWN, 1966, s. 364-369.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976, s. 181-183.