Macierz gęstości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierz gęstości (ang. density matrix) lub operator gęstości (ang. density operator) to matematyczna reprezentacja stanu układu kwantowego. Jest ogólniejsza od reprezentacji wektorowej, gdyż oprócz stanów czystych (reprezentowanych przez wektor) obejmuje również półklasyczne stany mieszane.

Formalizm operatorów gęstości został wprowadzony przez Johna von Neumanna w 1927.

Tworzenie macierzy gęstości[edytuj | edytuj kod]

Dla stanu czystego reprezentowanego przez wektor |\psi\rangle odpowiadający mu operator to

\rho=|\psi\rangle\langle\psi|,

czyli operator rzutowy rzutujący na jednowymiarową podprzestrzeń |\psi\rangle przestrzeni Hilberta \mathcal{H}.

Z kolei dla stanu mieszanego składającego się z (nieinterferujących ze sobą) składników |\psi_i\rangle odpowiadający mu operator gęstości to

\rho=\sum_{i} \lambda_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|,

gdzie \lambda_i to prawdopodobieństwa znalezienia poszczególnego składnika. Muszą one spełniać 0\leqslant \lambda_i<1 dla każdego i oraz \sum_i \lambda_i = 1. Jest to operator o wartościach własnych \lambda_i stowarzyszonych (odpowiednio) z wektorami własnymi |\psi_i\rangle.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla układu kwantowego opisywanego w przestrzeni Hilberta \mathcal{H}, operator gęstości to dowolny operator liniowy ciągły \rho:\mathcal{H}\to\mathcal{H} spełniający poniższe warunki

Gdy układ jest opisywany w skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta, macierz gęstości jest rzeczywiście reprezentowana przez macierz operatora liniowego.

Zbiór wszystkich macierzy gęstości przestrzeni Hilberta \mathcal{H} jest oznaczany jako S(\mathcal{H}). Jest to zbiór wypukły, co oznacza, że każdy operator gęstości może być przedstawiony jako kombinacja wypukła:

 \rho = \sum_{i} a_{i} \sigma_{i} 

gdzie \sigma_i\in S(\mathcal{H}), a_i\geqslant 0, dla każdego i oraz \sum_i a_i = 1.

Przedstawienie to jest niejednoznaczne, co oznacza że stan mieszany układu kwantowego może być zrealizowany jako próbka stanów czystych na wiele sposobów.

Stany czyste są punktami ekstermalnymi zbioru macierzy gęstości i jako takie mają jednoznaczne przedstawienie.

Równanie von Neumanna dla macierzy gęstości[edytuj | edytuj kod]

Tak jak dla funkcji falowych istnieje równanie Schrödingera, również dla macierzy gęstości istnieje odpowiednie równanie zwane równaniem von Neumanna (lub Liouville'a-von Neumanna)

i \hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [\hat{H},\rho],

gdzie [\hat{H},\rho] to komutator hamiltonianu z macierzą gęstości.

Dzięki temu, że powyższe równanie jest liniowe, w wyprowadzeniu można ograniczyć się do stanów czystych. Istotna jest także samosprzężoność hamiltonianu.

\frac{\partial |\psi\rangle\langle\psi|}{\partial t} =
\frac{\partial |\psi\rangle}{\partial t}\langle\psi|
+|\psi\rangle\frac{\partial \langle\psi|}{\partial t}
=(\frac{1}{i \hbar}\hat{H}|\psi\rangle)\langle\psi|
+|\psi\rangle(\frac{1}{i \hbar}\hat{H}|\psi\rangle)^*
=\frac{1}{i \hbar}( \hat{H} |\psi\rangle\langle\psi| - |\psi\rangle\langle\psi| \hat{H} )
= \frac{1}{i \hbar} [\hat{H},|\psi\rangle\langle\psi|]

Obliczanie wartości oczekiwanej[edytuj | edytuj kod]

Dla operatora obserwabli \hat{A} wartość średnia na wektorze |\psi\rangle to

\langle\hat{A}\rangle=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle.

W przypadku mieszania stanów wartość średnią operatora należy uśrednić po wszystkich stanach podlegających mieszaniu wagowaną przez prawdopodobieństwa ich wystąpienia

\langle\hat{A}\rangle=\sum_{i}\lambda_i\langle\psi_i|\hat{A}|\psi_i\rangle.

Do wnętrza powyższego wyrażenia możemy wstawić operator jednostkowy:

\langle\hat{A}\rangle=\sum_{i}\lambda_i\langle\psi_i|\hat{A} \sum_{j}|\psi_{j}\rangle\langle\psi_{j}|\psi_{i}\rangle.

Możemy przestawić \lambda_i pod znak sumy oraz zmienić indeks sumowania w (), dzięki czemu otrzymujemy:

\langle\hat{A}\rangle=\sum_{i}\langle\psi_{i}|\hat{A}\lambda_i \sum_{j}|\psi_{j}\rangle\langle\psi_{j}|\psi_{i}\rangle,
\langle\hat{A}\rangle=\sum_{i}\langle\psi_{i}|\hat{A}\hat{\rho}|\psi_{i}\rangle,
\langle\hat{A}\rangle = \operatorname{tr} (\hat{A}\hat{\rho}).

Formuła Borna-von Neumana[edytuj | edytuj kod]

W wyniku pomiaru obserwabli X na układzie opisanym przez operator gęstości \rho, otrzymujemy rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni możliwych wyników opisany wzorem

\mu_\rho^X(\omega)=\operatorname{Tr}(f_X(\omega)\rho),

gdzie f_X:\mathcal{B}(R)\to X to rozkład spektralny obserwabli X.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

W odniesieniu do spektroskopii NMR operator macierzy gęstości \hat \rho opisuje średnią statystyczną układu spinów po wszystkich stanach \psi, w których się one znajdują: \hat \rho=\overline{|\psi\rangle\langle\psi|}. Elementy diagonalne macierzy \rho_{\alpha\alpha} oraz \rho_{\beta\beta}, odpowiadające stanom własnym energii Zeemana  |\alpha\rangle, |\beta\rangle odpowiadają spinom będącym na głównych poziomach energetycznych spinów w polu magnetycznym, są to tzw. populacje. Elementy poza diagonalne \rho_{\beta\alpha}, \rho_{\alpha\beta} w macierzy nazwane są koherencjami, odpowiadają one superpozycjom stanów.