Macierz jednostkowa

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz jednostkowa (lub identycznościowa) to macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami:

$\begin{cases} a_{ij} = 1 \quad \mbox{dla} \quad i = j \\ a_{ij} = 0 \quad \mbox{dla} \quad i \not = j \end{cases} \,$.

Obrazowo, na głównej przekątnej macierzy jednostkowej są same jedynki, a reszta jest wypełniona zerami.

Macierz jednostkową stopnia $n$ zwykle oznacza się symbolem $I_n$.

Przykłady

$I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

Własności

• Iloczyn (lewo- lub prawostronny) dowolnej macierzy przez macierz jednostkową (o wymiarze takim, aby mnożenie było wykonalne) daje w wyniku tę pierwszą:

$I \cdot A = A$

$M \cdot I = M$

Zatem macierz jednostkowa jest elementem neutralnym pierścienia macierzy określonego stopnia.

• Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej:

$I_n = \operatorname{diag}(1,1,...,1) \,$

Zobacz też

• macierz elementarna
• macierz zerowa
• pełna grupa liniowa