Macierz kowariancji

Macierz kowariancji jest uogólnieniem pojęcia wariancji na przypadek wielowymiarowy. Macierz taka dla wektora losowego $(X_1, X_2,\ldots,X_n)$ ma postać:

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12} & \cdots & \sigma_{1n}\\ \sigma_{21} & \sigma_2^2 & \cdots & \sigma_{2n}\\ \vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{n1} & \sigma_{n2} & \cdots & \sigma_n^2 \end{bmatrix}$

gdzie:

• $\sigma_i^2 = D^2 X_i$ - wariancja zmiennej $X_i$,
• $\sigma_{ij} = \operatorname{cov}(X_i, X_j)$ - kowariancja między zmiennymi losowymi $X_i$ i $X_j$.

Własności macierzy kowariancji

• Macierz $\Sigma$ jest macierzą symetryczną.
• $\det\Sigma \geqslant 0$ (wyznacznik macierzy kowariancji jest nieujemny).
• Jeżeli $\det\Sigma = 0$, to wektor jest zdegenerowany.