Macierz przejścia (automatyka)

Macierz przejścia stanu (lub krótko macierz przejścia, macierz tranzycji, macierz transormacji, macierz fundamentalna, macierz podstawowa, ang. state-transition matrix) - to macierz, której iloczyn z wektorem stanu $x\,$ z chwili początkowej $t_0\,$ daje stan $x\,$ w późniejszej chwili $t\,$. Macierz przejścia stanu może być wykorzystana do uzyskania ogólnego rozwiązania dla liniowych układów dynamicznych. Macierz ta znana jest też jako eksponenta macierzy.

Rozwiązanie równań stanu

Niech dany będzie ogólny liniowy model przestrzeni stanów w postaci równań stanu:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{D}(t) \mathbf{u}(t)$

Rozwiązanie ogólne dane jest wówczas równaniem (jest to tak zwany wzór Cauchy-Bellmana):

$\mathbf{x}(t)= \mathbf{\Phi} (t, t_0)\mathbf{x}(t_0)+\int_{t_0}^t \mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{B}(\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau$

gdzie $\mathbf{\Phi}(t, \tau)$ jest macierzą przejścia określoną poniżej.

Innymi słowy: stan układu przedstawiany jest zwykle jako wektor $\mathbf {x}= [x_1, x_2,...,x_n] \in R^n$ i przedstawia pamięć układu. Znając stan układu oraz sterowanie jesteśmy w stanie określić stan, który osiągnie układ po zadanym czasie.

Dla układu regulacji opisanego układem równań różniczkowych przyjmuje on postać:

$x(t)=e^{tA}x(0)+\int_0^t{e^{(t-r)A}Bu(r)dr}$

gdzie $e^{tA}x(0)\,$ nazywana jest składową swobodną (zależną od warunków początkowych) a $\int_0^t{e^{(t-r)A}Bu(r)dr}$ składową wymuszoną (która jest splotem odpowiedzi impulsowej i wejścia). W przypadku układu swobodnego postać rozwiązania sprowadza się do składowej swobodnej (tzw. rozwiązanie swobodne).

Wyprowadzenie wzoru dla układu jednowymiarowego

Wzór na stan $x(t)\,$ układu jednowymiarowego, opisanego równaniami stanu:

$\frac{dx}{dt}=ax+bu(t)\,$

$y=cx\,$

gdzie:

$u(t)\,$ to zadane sterowanie

wyznaczamy w dwóch krokach:

1.Obliczamy rozwiązanie bez części sterującej

$\frac{dx}{dt}=ax$

Przekształcamy powyższy wzór tak, aby po jednej stronie znalazło się $dx\,$ oraz $x\,$, a po drugiej stronie $dt\,$

$\frac{dx}{x}=adt$

Uzyskany wzór całkujemy obustronnie uzyskując

$\ln\frac{x}{S}=at$ ($S\,$ to stała całkowania)

Na koniec pozbywamy się logarytmu naturalnego używając eksponenty dla obydwu stron równania

$x(t)=Se^{at}\,$

2.Uzyskany $x(t)\,$ podstawiamy do równań podanych na wstępie i obliczamy pochodną $x\,$ po czasie.

$\frac{dx}{dt}=ae^{at}S+e^{at}\frac{dS}{dt}=ax+bu(t)$

$\frac{dS}{dt}=bu(t)e^{-at}$

Przenosimy dt na prawą stronę i całkujemy obustronnie

$S(t)=S_0+\int_0^t{e^{-ra}bu(r)dr}$

$x(0)=S_0\,$

Na koniec wstawiamy uzyskane $S(t)\,$ do wzoru $x(t)=Se^{at}\,$.

$x(t)=e^{ta}x(0)+\int_0^t{e^{(t-r)a}bu(r)dr}$

Macierz przejścia

Macierz przejścia $\mathbf{\Phi}(t, \tau)$ określona jest jako

$\mathbf{\Phi}(t, \tau)\equiv\mathbf{U}(t)\mathbf{U}^{-1}(\tau)$

gdzie $\mathbf{U}(t)$ jest podstawową macierzą rozwiązania, która spełnia zależność

$\dot{\mathbf{U}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{U}(t)$

jest macierzą o wymiarach $n \times n$, która stanowi liniowe mapowanie na siebie samą, na przykład z $\mathbf{u}(t)=0$, przy danym stanie $\mathbf{x}(\tau)$ w dowolnej chwili czasu $\tau\,$, stan w dowolnej innej chwili $t\,$ określony jest przez mapowanie

$\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{x}(\tau)$

Podczas gdy macierz przejścia stanu $\phi \,$ nie jest całkowicie nieznana, to zawsze musi spełniać następujący związek:

$\frac{\partial \phi(t, t_0)}{\partial t} = A(t)\phi(t, t_0)$ i

$\phi(\tau, \tau) = I$ dla każdego $\tau\,$ i gdzie $I\,$ jest macierzą jednostkową.

a ponadto $\phi \,$ musi posiadać następujące właściwości:

1.	$\phi(t_2, t_1)\phi(t_1, t_0) = \phi(t_2, t_0)$
2.	$\phi^{-1}(t, \tau) = \phi(\tau, t)$
3.	$\phi^{-1}(t, \tau)\phi(t, \tau) = I$
4.	$\frac{d\phi(t, t_0)}{dt} = A(t)\phi(t, t_0)$

Jeśli układ jest niestacjonarny, można zdefiniować $\phi \,$ jako:

$\phi(t, t_0) = e^{A(t - t_0)}$

W przypadku niestacjonarnym, istnieje wiele różnych funkcji, które spełniają te wymagania a rozwiązanie uzależnione jest od struktury układu. Macierz przejścia stanu musi zostać określona przed dalszą analizą rozwiązania dla układu niestacjonarnego.

Zobacz też

• eksponenta macierzy
• macierz podstawowa
• stan układu
• macierz przejścia