Macierz przejścia (automatyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Macierz przejścia stanu (lub krótko macierz przejścia, macierz tranzycji, macierz transormacji, macierz fundamentalna, macierz podstawowa, ang. state-transition matrix) - to macierz, której iloczyn z wektorem stanu x\, z chwili początkowej t_0\, daje stan x\, w późniejszej chwili t\,. Macierz przejścia stanu może być wykorzystana do uzyskania ogólnego rozwiązania dla liniowych układów dynamicznych. Macierz ta znana jest też jako eksponenta macierzy.

Rozwiązanie równań stanu[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie ogólny liniowy model przestrzeni stanów w postaci równań stanu:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)
\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{D}(t) \mathbf{u}(t)

Rozwiązanie ogólne dane jest wówczas równaniem (jest to tak zwany wzór Cauchy-Bellmana):

\mathbf{x}(t)= \mathbf{\Phi} (t, t_0)\mathbf{x}(t_0)+\int_{t_0}^t \mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{B}(\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau

gdzie \mathbf{\Phi}(t, \tau) jest macierzą przejścia określoną poniżej.

Innymi słowy: stan układu przedstawiany jest zwykle jako wektor \mathbf {x}= [x_1, x_2,...,x_n] \in R^n i przedstawia pamięć układu. Znając stan układu oraz sterowanie jesteśmy w stanie określić stan, który osiągnie układ po zadanym czasie.

Dla układu regulacji opisanego układem równań różniczkowych przyjmuje on postać:

x(t)=e^{tA}x(0)+\int_0^t{e^{(t-r)A}Bu(r)dr}

gdzie e^{tA}x(0)\, nazywana jest składową swobodną (zależną od warunków początkowych) a \int_0^t{e^{(t-r)A}Bu(r)dr} składową wymuszoną (która jest splotem odpowiedzi impulsowej i wejścia). W przypadku układu swobodnego postać rozwiązania sprowadza się do składowej swobodnej (tzw. rozwiązanie swobodne).

Wyprowadzenie wzoru dla układu jednowymiarowego[edytuj | edytuj kod]

Wzór na stan x(t)\, układu jednowymiarowego, opisanego równaniami stanu:

\frac{dx}{dt}=ax+bu(t)\,
y=cx\,

gdzie:

u(t)\, to zadane sterowanie

wyznaczamy w dwóch krokach:

1.Obliczamy rozwiązanie bez części sterującej

\frac{dx}{dt}=ax

Przekształcamy powyższy wzór tak, aby po jednej stronie znalazło się dx\, oraz x\,, a po drugiej stronie dt\,

\frac{dx}{x}=adt

Uzyskany wzór całkujemy obustronnie uzyskując

\ln\frac{x}{S}=at (S\, to stała całkowania)

Na koniec pozbywamy się logarytmu naturalnego używając eksponenty dla obydwu stron równania

x(t)=Se^{at}\,

2.Uzyskany x(t)\, podstawiamy do równań podanych na wstępie i obliczamy pochodną x\, po czasie.

\frac{dx}{dt}=ae^{at}S+e^{at}\frac{dS}{dt}=ax+bu(t)
\frac{dS}{dt}=bu(t)e^{-at}

Przenosimy dt na prawą stronę i całkujemy obustronnie

S(t)=S_0+\int_0^t{e^{-ra}bu(r)dr}
x(0)=S_0\,

Na koniec wstawiamy uzyskane S(t)\, do wzoru x(t)=Se^{at}\,.

x(t)=e^{ta}x(0)+\int_0^t{e^{(t-r)a}bu(r)dr}

Macierz przejścia[edytuj | edytuj kod]

Macierz przejścia \mathbf{\Phi}(t, \tau) określona jest jako

\mathbf{\Phi}(t, \tau)\equiv\mathbf{U}(t)\mathbf{U}^{-1}(\tau)

gdzie \mathbf{U}(t) jest podstawową macierzą rozwiązania, która spełnia zależność

\dot{\mathbf{U}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{U}(t)

jest macierzą o wymiarach n \times n, która stanowi liniowe mapowanie na siebie samą, na przykład z \mathbf{u}(t)=0, przy danym stanie \mathbf{x}(\tau) w dowolnej chwili czasu \tau\,, stan w dowolnej innej chwili t\, określony jest przez mapowanie

\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{x}(\tau)

Podczas gdy macierz przejścia stanu  \phi \, nie jest całkowicie nieznana, to zawsze musi spełniać następujący związek:

\frac{\partial \phi(t, t_0)}{\partial t} = A(t)\phi(t, t_0) i
\phi(\tau, \tau) = I dla każdego \tau\, i gdzie I\, jest macierzą jednostkową.

a ponadto  \phi \, musi posiadać następujące właściwości:

1. \phi(t_2, t_1)\phi(t_1, t_0) = \phi(t_2, t_0)
2. \phi^{-1}(t, \tau) = \phi(\tau, t)
3. \phi^{-1}(t, \tau)\phi(t, \tau) = I
4. \frac{d\phi(t, t_0)}{dt} = A(t)\phi(t, t_0)

Jeśli układ jest niestacjonarny, można zdefiniować  \phi \, jako:

\phi(t, t_0) = e^{A(t - t_0)}

W przypadku niestacjonarnym, istnieje wiele różnych funkcji, które spełniają te wymagania a rozwiązanie uzależnione jest od struktury układu. Macierz przejścia stanu musi zostać określona przed dalszą analizą rozwiązania dla układu niestacjonarnego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]