Macierze Pauliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Macierzami Pauliego nazywamy zbiór zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzonych przez Wolfganga Pauliego w związku z pojęciem spinu w mechanice kwantowej dlatego można się spotkać też z nazwami "Spinowe macierze Pauliego" lub "Macierze spinowe Pauliego".

Wyglądają one następująco:


\sigma_1 =
\left[
\begin{matrix}
0&&1\\
1&&0
\end{matrix}
\right]

\sigma_2 =
\left[
\begin{matrix}
0&&-i\\
i&&0
\end{matrix}
\right]

\sigma_3 =
\left[
\begin{matrix}
1&&0\\
0&&-1
\end{matrix}
\right]

W fizyce niekiedy używa się oznaczeń \sigma_x \equiv \sigma_1, \sigma_y \equiv \sigma_2 i \sigma_z \equiv \sigma_3.

W literaturze używa się również macierzy σ0, która jest zwykłą macierzą identyczności

Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową wymiaru 2×2 tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta–Schmidta, w zespolonej przestrzeni Hilberta macierzy zespolonych wymiaru 2×2 oraz w rzeczywistej przestrzeni Hilberta zespolonych macierzy Hermitowskich o wymiarze 2x2.

Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:

\begin{matrix}
\hbox{det} (\sigma_i) &=& -1 & \\
\hbox{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \\
\end{matrix}

gdzie i=1,2,3. Macierze Pauliego spełniają następujące relacje komutacji oraz antykomutacji:

\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]  &=& \sigma_i\sigma_j - \sigma_j\sigma_i &=& 2 i\,\epsilon_{i j k}\,\sigma_k \\
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& \sigma_i\sigma_j + \sigma_j\sigma_i &=& 2 \delta_{i j} I
\end{matrix}

gdzie εijk jest symbolem Leviego-Civity, a δij jest deltą Kroneckera.

Niektóre z innych własności macierzy Pauliego:

\begin{matrix}
\sigma_i^2 & = & I\\
\sigma_i \sigma_j & = & I \delta_{i j} + i \epsilon_{i j k} \sigma_k \\
\exp(i\, \theta\, \vec v\, \vec \sigma) & = & I \cos(\theta) + i\, \vec v\, \vec \sigma \sin(\theta)\\
\end{matrix}

W ostatnim wzorze \vec v jest wektorem trójwymiarowym długości 1:  |\vec v| = 1 , a  \vec \sigma = [\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3]^T


Właściwości algebraiczne[edytuj | edytuj kod]


\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I

gdzie I jest macierz jednostkową, czyli inwolucją.

\det (\sigma_i) = -1,
\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0 .

Z powyższych równań możemy wywnioskować, że wartości własne dla każdego σi wynoszą ±1.

Wartości i operatory własne[edytuj | edytuj kod]

Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1. Znormalizowane funkcje falowe wektorów własnych są następujące:


\begin{array}{lclc}
\psi_{x+}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}, & \psi_{x-}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}, \\
\psi_{y+}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}, & \psi_{y-}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}, \\
\psi_{z+}=                                          & \begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}, & \psi_{z-}=                                          & \begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}.
\end{array}

Wektor Pauliego[edytuj | edytuj kod]

Wektor Pauliego zdefiniowany jest jako

\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,

i zapewnia odwzorowanie mechanizmu z wektora bazowego do bazy macierzy Pauliego

\vec{a} \cdot \vec{\sigma} = (a_i \hat{x_i}) \cdot (\sigma_j \hat{x_j})  \,
= a_i \sigma_j \hat{x_i} \cdot \hat{x_j} \,
= a_i \sigma_i  \,

Relacje komutacji[edytuj | edytuj kod]

Macierze Pauliego podlegają następującym relacjom komutacji i antykomutacji:

[\sigma_a, \sigma_b] = 2 i \sum_c \varepsilon_{a b c}\,\sigma_c,
\{\sigma_a, \sigma_b\} = 2 \delta_{a b} \cdot I.

gdzie \varepsilon_{abc} jest symbolem Leviego-Civity, \delta_{ab} - deltą Kroneckera, a I macierzą jednostkową.

Pomiędzy powyższymi relacjami zachodzi równość:

\sigma_a \sigma_b = \delta_{ab} \cdot I + i \sum_c \varepsilon_{abc} \sigma_c \,.

Na przykład:

\begin{align}
\sigma_1\sigma_2 &= i\sigma_3,\\
\sigma_2\sigma_3 &= i\sigma_1,\\
\sigma_2\sigma_1 &= -i\sigma_3,\\
\sigma_1\sigma_1 &= I.\\
\end{align}

Ostatecznie wynik relacji komutacji może być użyty do dowodu:

(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \, I + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} ) \quad \quad \quad \quad (1) \,
(tak długo jak wektory a i b komutują z macierzami Pauliego)

oraz

e^{i (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})} = I\cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \,

dla \vec{a} = a \hat{n} .

Informatyka kwantowa[edytuj | edytuj kod]

Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako X,Y,Z kolejno dla  \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3.


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]