Macierze Pauliego

Macierzami Pauliego nazywamy zbiór zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzonych przez Wolfganga Pauliego w związku z pojęciem spinu w mechanice kwantowej dlatego można się spotkać też z nazwami "Spinowe macierze Pauliego" lub "Macierze spinowe Pauliego".

Wyglądają one następująco:

$\sigma_1 = \left[ \begin{matrix} 0&&1\\ 1&&0 \end{matrix} \right]$

$\sigma_2 = \left[ \begin{matrix} 0&&-i\\ i&&0 \end{matrix} \right]$

$\sigma_3 = \left[ \begin{matrix} 1&&0\\ 0&&-1 \end{matrix} \right]$

W fizyce niekiedy używa się oznaczeń $\sigma_x \equiv \sigma_1$, $\sigma_y \equiv \sigma_2$ i $\sigma_z \equiv \sigma_3$.

W literaturze używa się również macierzy σ₀, która jest zwykłą macierzą identyczności

Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową wymiaru 2×2 tworzą bazę w przestrzeni macierzy zespolonych wymiaru 2×2.

Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:

$\begin{matrix} \hbox{det} (\sigma_i) &=& -1 & \\ \hbox{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \\ \end{matrix}$

gdzie i=1,2,3. Macierze Pauliego spełniają następujące relacje komutacji oraz antykomutacji:

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& \sigma_i\sigma_j - \sigma_j\sigma_i &=& 2 i\,\epsilon_{i j k}\,\sigma_k \\ \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& \sigma_i\sigma_j + \sigma_j\sigma_i &=& 2 \delta_{i j} I \end{matrix}$

gdzie ε_ijk jest symbolem Leviego-Civity, a δ_ij jest deltą Kroneckera.

Niektóre z innych własności macierzy Pauliego:

$\begin{matrix} \sigma_i^2 & = & I\\ \sigma_i \sigma_j & = & I \delta_{i j} + i \epsilon_{i j k} \sigma_k \\ \exp(i\, \theta\, \vec v\, \vec \sigma) & = & I \cos(\theta) + i\, \vec v\, \vec \sigma \sin(\theta)\\ \end{matrix}$

W ostatnim wzorze $\vec v$ jest wektorem trójwymiarowym długości 1: $|\vec v| = 1$, a $\vec \sigma = [\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3]^T$

Właściwości algebraiczne

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$

gdzie I jest macierz jednostkową, czyli inwolucją.

• Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego:

$\det (\sigma_i) = -1,$

$\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0 .$

Z powyższych równań możemy wywnioskować, że wartości własne dla każdego σ_i wynoszą ±1.

• Razem z macierzą identycznościową I (która często zapisywana jest jako σ₀), macierze Pauliego z ortogonalnymi bazami, w rozumieniu Hilberta–Schmidta, dla rzeczywistej przestrzeni Hilberta 2 × 2 są sprzężeniem Hermitowskim macierzy lub złożeniem przestrzeni Hilberta ze wszystkich macierzy 2 × 2.

Wartości i operatory własne

Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1. Znormalizowane funkcje falowe wektorów własnych są następujące:

$\begin{array}{lclc} \psi_{x+}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}, & \psi_{x-}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}, \\ \psi_{y+}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}, & \psi_{y-}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\!\!\!\!\! & \begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}, \\ \psi_{z+}= & \begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}, & \psi_{z-}= & \begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}. \end{array}$

Wektor Pauliego

Wektor Pauliego zdefiniowany jest jako

$\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,$

i zapewnia odwzorowanie mechanizmu z wektora bazowego do bazy macierzy Pauliego

$\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{\sigma} &= (a_i \hat{x}_i) \cdot (\sigma_j \hat{x}_j ) \\ &= a_i \sigma_j \hat{x}_i \cdot \hat{x}_j \\ &= a_i \sigma_i \end{align}$

Relacje komutacji

Macierze Pauliego podlegają następującym relacjom komutacji i antykomutacji:

$[\sigma_a, \sigma_b] = 2 i \sum_c \varepsilon_{a b c}\,\sigma_c,$

$\{\sigma_a, \sigma_b\} = 2 \delta_{a b} \cdot I.$

gdzie $\varepsilon_{abc}$ jest symbolem Leviego-Civity, $\delta_{ab}$ - deltą Kroneckera, a I macierzą jednostkową.

Pomiędzy powyższymi relacjami zachodzi równość:

$\sigma_a \sigma_b = \delta_{ab} \cdot I + i \sum_c \varepsilon_{abc} \sigma_c \,$.

Na przykład:

$\begin{align} \sigma_1\sigma_2 &= i\sigma_3,\\ \sigma_2\sigma_3 &= i\sigma_1,\\ \sigma_2\sigma_1 &= -i\sigma_3,\\ \sigma_1\sigma_1 &= I.\\ \end{align}$

Ostatecznie wynik relacji komutacji może być użyty do dowodu:

$(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \, I + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} ) \quad \quad \quad \quad (1) \,$

(tak długo jak wektory a i b komutują z macierzami Pauliego)

oraz

$e^{i (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})} = I\cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \,$

dla $\vec{a} = a \hat{n}$.

Dowód (#1)

$(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) \,$	$= a_i \sigma_i b_j \sigma_j \,$
	$= a_i b_j \sigma_i \sigma_j \,$
	$= a_i b_j \left( \delta_{ij} \cdot I+ i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \right) \,$
	$= a_i b_j \delta_{ij} \cdot I+ i \sigma_k \varepsilon_{ijk} a_i b_j \,$
	$= ( \vec{a} \cdot \vec{b} ) \cdot I+ i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} )\,$

Dowód (#2)

Najpierw zauważmy równość

$(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \,$

(Może być udowodniona dla n=1 z użyciem relacji antykomutacji.) Dla pozostałych:

$(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \,$

Połączenie tych dwóch faktów z wiedzą o relacjach eksponencjalnych z sin i cos:

$e^{ix} \,$	$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{i^n x^n}{n!}} \,$
	$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,$

Kiedy podstawimy $x = a (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \,$ otrzymamy

$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n}}{(2n)!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \vec{\sigma})^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,$

$= I\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n}}{(2n)!}} + i (\hat{n}\cdot \vec{\sigma}) \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,$

Suma cosinusów po lewej stronie i suma sinusów po prawej, więc ostatecznie,

$e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = I\cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \,$

Informatyka kwantowa

Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako $X,Y,Z$ kolejno dla $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$.

Zobacz też

• wektor Blocha