Macierze gamma

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
W tym artykule występują konwencje związane z teoriami relatywistycznymi.

Macierze γ, macierze Diraca - zbiór czterech macierzy \left \{ \gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^{3} \right \} będących bazą przestrzeni macierzy kwadratowych 4x4 nad ciałem liczb zespolonych M_{4\times4}(\mathbb{C}), stosowanych w relatywistycznej mechanice kwantowej.

Macierze γ0, γ1, γ2, γ3[edytuj | edytuj kod]

Macierze γ są zdefiniowane aksjomatycznie za pomocą równań (dla i, j należących do \{1,2,3\}):


\left \{
\begin{matrix}
\left ( \gamma ^{0} \right )^{2} = I\\
\gamma^{i} \gamma^{0} + \gamma^{0} \gamma^{i} =  \left\{ \gamma^{i}, \gamma^{0} \right\} = 0\\
\gamma^{i} \gamma^{j} + \gamma^{j} \gamma^{i} =  \left\{ \gamma^{i}, \gamma^{j} \right\} = 2g^{ij}I\\
\end{matrix}
\right .

gdzie:

g^{ij} - tensor metryczny
I - macierz jednostkowa
\left\{ A, B \right\} - antykomutator A i B

Powyższe warunki można prosto wyprowadzić porównując równanie Diraca z równaniem Kleina-Gordona, nie definiują one konkretnej postaci macierzy γ - każda reprezentacja je spełniająca jest dobra. Najpopularniejszymi reprezentacjami są:

Reprezentacja Pauliego-Diraca[edytuj | edytuj kod]

Zaproponowana przez Wolfganga Pauliego i Paula Diraca. Macierze γ wyrażają się przez macierze Pauliego jako:


\gamma^{i} = 
\left (
\begin{matrix}
0 & \sigma_{i}\\
-\sigma_{i} & 0\\
\end{matrix}
\right )


\gamma^{0} = 
\left (
\begin{matrix}
I & 0\\
0 & -I\\
\end{matrix}
\right )

Gdzie I oznacza dwuwymiarową macierz jednostkową.

Reprezentacja Weyla[edytuj | edytuj kod]

Związek macierzy γ z macierzami Pauliego:


\gamma^{i} = 
\left (
\begin{matrix}
-\sigma_{i} & 0\\
0 & \sigma_{i}\\
\end{matrix}
\right )


\gamma^{0} = 
\left (
\begin{matrix}
0 & I\\
I & 0\\
\end{matrix}
\right )

Reprezentacja Majorany (chiralna)[edytuj | edytuj kod]

Stosowana jest często w kwantowej teorii pola, ze względu na wygodną postać operatorów rzutu na składowe spinora w tej reprezentacji.


\gamma^{i} = 
\left (
\begin{matrix}
0 & \sigma_{i}\\
-\sigma_{i} & 0\\
\end{matrix}
\right )


\gamma^{0} = 
\left (
\begin{matrix}
0 & I\\
I & 0\\
\end{matrix}
\right )

Macierz γ5[edytuj | edytuj kod]

Macierz γ5 jest zdefiniowana jako:


\gamma^{5} = i \gamma^{0} \gamma^{1} \gamma^{2} \gamma^{3}

Gdzie i oznacza jednostkę urojoną. Macierz ta ma różną postać, w zależności od reprezentacji.