Macierze gamma

W tym artykule występują konwencje związane z teoriami relatywistycznymi.

Macierze γ, macierze Diraca - zbiór czterech macierzy $\left \{ \gamma^0, \gamma^1, \gamma^2, \gamma^{3} \right \}$ będących bazą przestrzeni macierzy kwadratowych 4x4 nad ciałem liczb zespolonych $M_{4\times4}(\mathbb{C})$, stosowanych w relatywistycznej mechanice kwantowej.

Macierze γ⁰, γ¹, γ², γ³

Macierze γ są zdefiniowane aksjomatycznie za pomocą równań (dla $i$, $j$ należących do $\{1,2,3\}$):

$\left \{ \begin{matrix} \left ( \gamma ^{0} \right )^{2} = I\\ \gamma^{i} \gamma^{0} + \gamma^{0} \gamma^{i} = \left\{ \gamma^{i}, \gamma^{0} \right\} = 0\\ \gamma^{i} \gamma^{j} + \gamma^{j} \gamma^{i} = \left\{ \gamma^{i}, \gamma^{j} \right\} = 2g^{ij}I\\ \end{matrix} \right .$

gdzie:

$g^{ij}$ - tensor metryczny

$I$ - macierz jednostkowa

$\left\{ A, B \right\}$ - antykomutator A i B

Powyższe warunki można prosto wyprowadzić porównując równanie Diraca z równaniem Kleina-Gordona, nie definiują one konkretnej postaci macierzy γ - każda reprezentacja je spełniająca jest dobra. Najpopularniejszymi reprezentacjami są:

Reprezentacja Pauliego-Diraca

Zaproponowana przez Wolfganga Pauliego i Paula Diraca. Macierze γ wyrażają się przez macierze Pauliego jako:

$\gamma^{i} = \left ( \begin{matrix} 0 & \sigma_{i}\\ -\sigma_{i} & 0\\ \end{matrix} \right )$

$\gamma^{0} = \left ( \begin{matrix} I & 0\\ 0 & -I\\ \end{matrix} \right )$

Gdzie I oznacza dwuwymiarową macierz jednostkową.

Reprezentacja Weyla

Związek macierzy γ z macierzami Pauliego:

$\gamma^{i} = \left ( \begin{matrix} -\sigma_{i} & 0\\ 0 & \sigma_{i}\\ \end{matrix} \right )$

$\gamma^{0} = \left ( \begin{matrix} 0 & I\\ I & 0\\ \end{matrix} \right )$

Reprezentacja Majorany (chiralna)

Stosowana jest często w kwantowej teorii pola, ze względu na wygodną postać operatorów rzutu na składowe spinora w tej reprezentacji.

$\gamma^{i} = \left ( \begin{matrix} 0 & \sigma_{i}\\ -\sigma_{i} & 0\\ \end{matrix} \right )$

$\gamma^{0} = \left ( \begin{matrix} 0 & I\\ I & 0\\ \end{matrix} \right )$

Macierz γ⁵

Macierz γ⁵ jest zdefiniowana jako:

$\gamma^{5} = i \gamma^{0} \gamma^{1} \gamma^{2} \gamma^{3}$

Gdzie i oznacza jednostkę urojoną. Macierz ta ma różną postać, w zależności od reprezentacji.