Metoda Kleina

Metoda Kleina – metoda prognozowania na podstawie szeregów czasowych. Pozwala na konstrukcję modelu uwzględniającego tendencję rozwojową oraz wahania okresowe.

Postać modelu Kleina:

$y_{t}=f(t)+\sum \limits _{i=1}^{r-1}\alpha _{i}Q_{i}+\xi _{t},$

gdzie:

$f(t)$ – funkcja trendu,

$Q_{i}$ – $i$-ta zmienna zero-jedynkowa przyjmująca wartość jeden dla fazy o numerze $i$ oraz zero dla pozostałych faz cyklu,

$r$ – liczba faz cyklu.

W sumie występuje o jeden składnik mniej, gdyż zakładamy, że funkcja trendu zawiera wyraz wolny $\beta _{0}.$ Przy $r$ składnikach sumy dodanie stałej do $\beta _{0}$ i odjęcie jej od $\alpha _{i},i=1\dots r$ nie zmieniałoby wartości $y_{t},$ jeden parametr jest więc nadmiarowy.

W szczególności dla liniowej funkcji trendu $f(t)=t\beta +\beta _{0}$ model przyjmuje postać:

$y_{t}=t\beta +\beta _{0}+\alpha _{1}Q_{1}+\alpha _{2}Q_{2}+\dots +\alpha _{r-1}Q_{r-1}+\xi _{t}.$

Jak widać, współczynnik $\beta _{0}$ wchodzi do sumy dla każdego $t,$ natomiast $\alpha _{i}$ tylko dla $t=i+kr,k=0,1,\dots .$

Można zmienić bazę współczynników za pomocą przekształcenia:

$\alpha '_{0}=\beta _{0},$

$\alpha '_{i}=\beta _{0}+\alpha _{i},i=1\dots r-1.$

Otrzymamy wtedy bardziej elegancką postać modelu:

$y_{t}=t\beta +\alpha '_{0}Q_{0}+\alpha '_{1}Q_{1}+\alpha '_{2}Q_{2}+\dots +\alpha '_{r-1}Q_{r-1}+\xi _{t},$

czyli:

$y_{t}=t\beta +\alpha '_{t\ mod\ r}+\xi _{t}.$

Parametry modelu są zwykle estymowane metodą najmniejszych kwadratów (choć możliwe jest też zastosowanie innej metody regresji liniowej, np. regresji medianowej). Estymatory parametrów są wtedy powiązane zależnością:

${\hat {\alpha '_{i}}}={\overline {y_{i}}}-{\hat {\beta }}{\overline {t_{i}}},$

gdzie:

${\hat {\alpha '_{i}}}$ – estymator parametru $\alpha '_{i},$

${\hat {\beta }}$ – estymator parametru $\beta ,$

${\overline {y_{i}}}$ – średnia wartość zmiennej prognozowanej w $i$-tej fazie cyklu,

${\overline {t_{i}}}$ – średnia wartość zmiennej czasowej w $i$-tej fazie cyklu.

Bibliografia

• Maria Cieślak (red.), Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania, s. 92.