Metoda Ritza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Metoda Ritza – w mechanice kwantowej, jedna z metod rozwiązania równania Schrödingera. Nazwa metody pochodzi od nazwiska szwajcarskiego fizyka, Walthera Ritza.

Opis metody[edytuj | edytuj kod]

Metoda Ritza jest szczególnym przypadkiem metody wariacyjnej. W tej metodzie wprowadza się do funkcji próbnej, dodatkowe parametry wariacyjne, gdyż wówczas łatwo jest obliczyć ich optymalne wartości.

Niech funkcja próbna będzie w postaci:

 \varphi = \sum\limits_{p=1} c_p \chi_p

gdzie funkcja \chi_p jest znana i nie jest ortonormalna. Wybór tej funkcji jest w zasadzie dowolny – powinien jedynie umożliwiać otrzymanie takiego rozmieszczenia cząstek, jakiego spodziewać się można po przesłankach fizycznych i chemicznych danego układu. Po podstawieniu powyższego równania do równania znanego z metody wariacyjnej:

\epsilon = {{\int \varphi^* \hat{H} \varphi d \tau} \over {\int \varphi^* \varphi d \tau}}

Otrzyma się następujące równanie:

\epsilon \sum\limits_{q=1}^N \sum\limits_{r=1}^N c_r^* c_q S_{rq} = \sum\limits_{q=1}^N \sum\limits_{r=1}^N c_r^* c_q H_{rq}

gdzie:

 S_{rq} = \int \chi_r^* \chi_q d \tau ~~ i ~~ H_{rq} = \int \chi_r^* \hat{H} \chi_q d \tau

Należy teraz znaleźć minimum \epsilon z względu na współczynniki c^* i c. Są one liczbami zespolonymi, zatem istnieje 2N parametrów i można traktować je jako parametry niezależne. Różniczkując powyższe równanie, względem c_p^*:

 {{\partial \epsilon} \over {\partial c_p^*}} \sum\limits_{q=1}^N \sum\limits_{r=1}^N c_r^* c_q S_{rq} + \epsilon \sum\limits_{q=1}^N c_q S_{rq} = \sum\limits_{q=1}^N \sum\limits_{r=1}^N c_q H_{rq}

Do znalezienia ekstremum trzeba założyć, że {{\partial \epsilon} \over {\partial c_p^*}} = 0 . Zatem, minimalną wartość \epsilon, oznaczoną jako E, otrzyma się z równania:

 \sum\limits_{q=1}^N c_q (H_{pq} - ES_{pq}) = 0
dla p = 1, 2, ..., N

Powyższy układ równań ma proste rozwiązanie c_n = 0 dla wszystkich n. Aby układ jednorodny nie miał jednego, prostego rozwiązania, wyznacznik zbudowany ze współczynników przy niewiadomych musi być zerowy:

 |H_{pq} - ES_{pq}| = 0

Jest to równanie stopnia N. Z tego powodu ma ono N pierwiastków dla niewiadomej E. Wstawiając określony pierwiastek E_1, E_2, ..., E_N do ww. równania, można otrzymać rozwiązania poprzez znalezienie współczynników c_q, dla danej wartości energii E_i. Jeśli zatem E_i jest najmniejszym pierwiastkiem, to odpowiada on stanowi podstawowemu układu, a współczynniki c_i, określają funkcję falową:

 \varphi = \sum\limits_{p=1} c_i \chi_q

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]