Metoda Sheparda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda Sheparda – sposób aproksymacji wielowymiarowej dla rozproszonych zbiorów znanych punktów aproksymacyjnych.

Ogólna postać metody Sheparda dla znalezienia wartości aproksymowanej u dla danego punktu x ma formę funkcji:

u(\mathbf{x}) = \frac{ \sum_{k = 0}^{N}{ w_k(\mathbf{x}) u_k } }{ \sum_{k = 0}^{N}{ w_k(\mathbf{x}) } },

gdzie

w_k(\mathbf{x}) =  \frac{1}{d(\mathbf{x},\mathbf{x}_k)^p},

jest współczynnikiem wagowym, wprowadzonym przez Sheparda[1], x oznacza dowolny punkt aproksymowany, xk – znany punkt aproksymacyjny, d jest określonym operatorem metryki, N oznacza całkowitą liczbę punktów aproksymacyjnych, a p jest parametrem. W tym przypadku wartość współczynnika wagowego zmniejsza się wraz ze wzrostem odległości pomiędzy punktem aproksymowanym x a punktem aproksymującym xk. Dla 0 < p < 1 u(x) ma ostre wierzchołki nad punktami aproksymującymi, a dla p > 1 jest gładka. Najczęściej przyjmuje się p = 2.

Metoda Sheparda wynika z minimalizacji funkcjonału określającego miarę odchyłek pomiędzy punktem aproksymowanym i odpowiadającą mu wartością aproksymowaną a krotkami punktów aproksymacyjnych {xk, uk}, zdefiniowanego jako:

\phi(\mathbf{x}, u) = \left( \sum_{k = 0}^{N}{\frac{(u-u_k)^2}{d(\mathbf{x},\mathbf{x}_k)^p}} \right)^{\frac{1}{p}} ,

oraz warunku minimalizacji:

\frac{\part \phi(\mathbf{x}, u)}{\part u} = 0.

Modyfikacja Liszki[edytuj | edytuj kod]

Modyfikacja metody Sheparda została zaproponowana w pracy Liszki[2] w zastosowaniach do zagadnień aproksymacyjnych mechaniki doświadczalnej. Zaproponowano tu nowy współczynnik wagowy:

w_k(\mathbf{x}) =  \frac{1}{(d(\mathbf{x},\mathbf{x}_k)^2+ \varepsilon^2)^\frac{1}{2}},

gdzie ε dobiera się w zależności od błędu pomiaru punktów aproksymacyjnych.

Przypisy

  1. Donald Shepard, "A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data", Proceedings of the 1968 ACM National Conference, str. 517–524
  2. Liszka T., An Interpolation Method for an Irregular Net of Nodes, Wyd. Int. J. for Num. Meth. In Engng, 1984.