Metoda Simpsona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Funkcja f(x) (niebieska) jest przybliżana funkcją kwadratową P(x) (czerwona) gdzie:
f(a) = f(x_0) = y_0,
f(m) = f(x_1) = y_1,
f(b) = f(x_2) = y_2.

Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej.

Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację wielomianem drugiego stopnia.

Znając wartości y_0,\ y_1,\ y_2 funkcji f(x) w 3 punktach x_0,\ x_1,\ x_2 (przy czym x_2-x_1 = x_1-x_0 = h\;), przybliża się funkcję wielomianem Lagrange'a i, całkując w przedziale [x_0,x_2], otrzymuje przybliżoną wartość całki:

\int\limits_{x_0}^{x_2}f(x)dx\approx \frac h 3 (y_0+4y_1+y_2)

Błąd, który przy tym popełniamy, jest równy:  R = \frac{1}{90} h^5 |f^{(4)}(c)| , gdzie:

c \in [x_0; x_2].

Nie znamy położenia punktu c, więc posługujemy się poniższym szacowaniem, mającym zastosowanie w obliczeniach numerycznych:

 R \leqslant \frac{1}{90} h^5 \max_{x \in [x_0; x_2]} |f^{(4)}(x)| .

Znając wartości funkcji w 2k+1 kolejnych, równo odległych punktach x_0,\,x_1,\dots x_n (gdzie n=2k), możemy iterować powyższy wzór na k przedziałów:

\int\limits_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac h 3 (y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i}),\quad i=1,\,2,\,\dots\,k,\quad k=\frac n 2,

otrzymując:

\int\limits_{x_0}^{x_n}f(x)dx=\sum_{i=1}^k \int\limits_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac h 3 \left( y_0+4\sum_{i=1}^k y_{2i-1}+2\sum_{i=1}^{k-1} y_{2i}+y_{n} \right).

Wartość błędu, jakim są obarczone wyliczenia, wyraża się wzorem:

 R \leqslant \frac{1}{180} (x_n - x_0) h^4 \max_{x \in [x_0; x_n]} |f^{(4)}(x)| .

By czytelnik mógł go odnieść do rysunku:

x_n = b; f(x_n) = y_n,
x_0 = a; f(x_0) = y_0.

Geometrycznie metoda ta odpowiada zastąpieniu w każdym z kolejnych k przedziałów zmiennej x łuku wykresu funkcji y=f(x) łukiem paraboli przeprowadzonej przez trzy kolejne węzły interpolacji (punkty wykresu o znanych współrzędnych) odpowiadające początkowi, środkowi i końcowi kolejnego przedziału.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]