Metoda Tustina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda Tustina (zwana też transformatą Tustina, transformatą biliniową) - oparta na aproksymacji metoda przekształcania układów czasu ciągłego (przedstawionych w przestrzeni Laplace'a) na układy czasu dyskretnego (przedstawione w przestrzeni z), lub odwrotnie, stosowana w teorii sterowania.

Aby dokonać przekształcenia metodą Tustina można użyć następujących podstawień w H(s)\, lub odpowiednio H(z)\,:

\, s =\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)} \quad

przy transformacji z przestrzeni Laplace'a do przestrzeni "z" (transformacja Tustina), albo

\,  z =\frac{2+sT}{2-sT} \quad

przy transformacji z przestrzeni "z" do przestrzeni Laplace'a.

Transformacja biliniowa mapuje zespoloną płaszczyznę S (przekształcenia Laplace'a) na zespoloną płaszczyznę z (przekształcenia Z). mimo, że przekształcenie to jest nieliniowe, użyteczne jest przez to, że mapuje całą oś j\Omega\, płaszczyzny s na okrąg jednostkowy płaszczyzny z.

Jako taka, transformata Fouriera (która jest transformatą Laplace'a określoną na osi j\Omega \,) staje się dyskretną transformatą Fouriera. Ma to miejsce przy założeniu, że transformata Fouriera istnieje; to znaczy, że oś j\Omega\, znajduje się w obszarze zbieżności transformaty Laplace'a.

Wyprowadzenie transformacji Tustina[edytuj | edytuj kod]

Transformacja Tustina polega na aproksymacji Padé funkcji eksponencjalnej  \begin{align} z &= e^{sT} \end{align}  :


\begin{align}
z &= e^{sT}   \\
  &= \frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}} \\
  &\approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2}
\end{align}

i odwrotnie:


\begin{align}
s &= \frac{1}{T} \ln(z)  \\
  &= \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3  + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5  + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \cdots \right] \\
  &\approx  \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \\
  &=  \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}
\end{align}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]