Metoda składowych symetrycznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda składowych symetrycznych (znana również jako Przekształcenie Fortescoue'a) – metoda analizy elektroenergetycznych układów trójfazowych za pomocą wektorów o zgodnej, odwrotnej i zerowej kolejności faz. Metoda składowych symetrycznych ułatwia, względem klasycznej metody, analizę układów w stanach awaryjnych (zwarcia międzyfazowe i doziemne, przerwy) oraz w analizie wirujących maszyn elektrycznych prądu sinusoidalnego w stanach ustalonych. Metodę można rozszerzyć do układów o większej liczbie faz.

Idea metody 0, 1, 2[edytuj | edytuj kod]

Idea metody składowych symetrycznych polega na tym że stosując odpowiednie przekształcenie liniowe zastępujemy układ trzech wektorów niesymetrycznych przez trzy równoważne układy symetryczne. W rezultacie niesymetryczne źródło zasilania zastępujemy trzema symetrycznymi źródłami i stosując zasadę superpozycji dokonujemy obliczenia rozpływu prądów dla każdego układu symetrycznego napięć. Następnie nakładamy obliczone prądy wywołane działaniem każdego źródła niezależnie i otrzymujemy rozpływ wypadkowy. Rozkład układu niesymetrycznego może również dotyczyć prądów lub napięć na odbiorniku.

Niech dane trzy napięcia \underline{U}_{L1}\,, \underline{U}_{L2}\,, \underline{U}_{L3}\, tworzą układ niesymetryczny, to wektory składowych symetrycznych \underline{U}_{0}\,, \underline{U}_{1}\,, \underline{U}_{2}\, (odpowiednio zerowy, zgodny i przeciwny) wyznaczamy w następujący sposób:

\underline{U}_{0} = \frac{1}{3}(\underline{U}_{L1}+\underline{U}_{L2}+\underline{U}_{L3})
\underline{U}_{1} = \frac{1}{3}(\underline{U}_{L1}+a\underline{U}_{L2}+a^2\underline{U}_{L3})
\underline{U}_{2} = \frac{1}{3}(\underline{U}_{L1}+a^2\underline{U}_{L2}+a\underline{U}_{L3})

Jeżeli natomiast chcemy wyznaczyć wektory napięć \underline{U}_{L1}\,, \underline{U}_{L2}\,, \underline{U}_{L3}\, (czyli układ niesymetryczny napięć) mając dane wektory napięć składowych symetrycznych \underline{U}_{0}\,, \underline{U}_{1}\,, \underline{U}_{2}\, wykorzystujemy następujące zależności:

\underline{U}_{L1} = \underline{U}_{0}+\underline{U}_{1}+\underline{U}_{2}
\underline{U}_{L2} = \underline{U}_{0}+a^2\underline{U}_{1}+a\underline{U}_{2}
\underline{U}_{L3} = \underline{U}_{0}+a\underline{U}_{1}+a^2\underline{U}_{2}

a, a^2\, - operatory kątowe obrotu, odpowiednio równe:

a=e^{j\frac{2\pi}{3}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}j
a^2=e^{j\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}j

Wektory \underline{U}_{0}\,, \underline{U}_{1}\,, \underline{U}_{2}\, nazywane są składowymi symetrycznymi odpowiednio zerową, zgodną i przeciwną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

W przypadku ogólnym rozważa się układy niesymetryczne w których występują wszystkie 3 składowe symetryczne. Istnieją jednak układy prądów i napięć niesymetrycznych, w których nie wszystkie składowe mogą występować. Gdy suma trzech wektorów układu niesymetrycznego prądów lub napięć równa jest zeru, to taki układ nie może zawierać składowych zerowych. Warunek ten spełniają prądy u układach trójprzewodowych oraz napięcia międzyfazowe w układach trój- i czteroprzewodowych.

  • W układzie trójfazowym trójprzewodowym składowa zerowa prądów przewodowych jest równa zero;
  • w układzie trójfazowym czteroprzewodowym prąd w przewodzie neutralnym jest równy potrójnej wartości składowej symetrycznej zerowej \underline{I}_{N}=3\underline{I}_{0};
  • w układzie trójfazowym zarówno trójprzewodowym, jak i czteroprzewodowym, składowa zerowa napięć międzyprzewodowych jest równa zeru, gdyż suma napięć międzyprzewodowych jest zawsze równa zeru. Mimo braku składowych zerowych w napięciach międzyfazowych mogą one wystąpić w napięciach fazowych zarówno źródła, jak i odbiornika.
  • składowa zerowa napięć fazowych w obwodzie trójfazowym symetrycznym jest równa zeru;
  • składowa zerowa napięć fazowych odbiornika niesymetrycznego o układzie gwiazdowym wyraża się wektorem łączącym początek układu napięć fazowych N ze środkiem ciężkości N' trójkąta napięć międzyfazowych;
  • napięcia fazowe różnych odbiorników trójfazowych, trójprzewodowych, połączonych w gwiazdę, mogą się różnić składowymi zerowymi. Ich składowe zgodne i przeciwne są sobie równe oraz są równe odpowiednim składowym napięć zasilających;
  • jeżeli układ zasilający nie zawiera składowych przeciwnych napięć międzyfazowych, to składowe te nie występują również w napięciach fazowych ani źródła ani odbiornika, bez względu na jego symetrię;
  • prądy w odbiorniku trójfazowym niesymetrycznym o układzie gwiazdowym bez przewodu neutralnego zawierają przy zasilaniu symetrycznymi napięciami międzyfazowymi składowe zgodne i przeciwne;
  • w uzwojeniach źródła lub odbiornika połączonego w trójkąt, może krążyć składowa zerowa prądów fazowych, ale nie może wyjść poza trójkąt;
  • ponieważ w maszynach elektrycznych trójfazowy układ zgodny prądów wywołuje pole wirujące zgodnie z kierunkiem prędkości obrotowej, a układ przeciwny prądów wywołuje pole wirujące przeciwnie do kierunku prędkości obrotowej, zatem duża niesymetria w układzie trójfazowym może spowodować zmianę kierunku wirowania maszyn (przy przewadze składowej przeciwnej)
  • występowanie składowej przeciwnej jest dla pracy maszyn elektrycznych niekorzystne, gdyż pole magnetyczne wirujące przeciwnie do kierunku wirowania maszyny indukuje prądy o podwójnej częstotliwości;
  • przy przepływie przez linię elektroenergetyczną składowych zerowych, powstaje w otoczeniu linii pole magnetyczne, które może wywierać niekorzystny wpływ na przebiegające obok inne linie, np. linie telekomunikacyjne.