Metoda wariacyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metoda wariacyjna – w mechanice kwantowej jedna z dwóch podstawowych (obok rachunku zaburzeń), przybliżonych metod rozwiązywania równania Schrödingera.

Opis metody[edytuj | edytuj kod]

W porównaniu z rachunkiem zaburzeń, metoda wariacyjna ma pewną przewagę – może ona być użyta praktycznie do dowolnego układu, nie trzeba na nią nakładać żadnych dodatkowych ograniczeń. Równanie Schrödingera przedstawia się następująco:

\hat{H} \psi_n (r) = E_n \psi_n (r)

Nie można go rozwiązać ściśle, jednak można znaleźć jego przybliżone funkcje i wartości własne. W stanie podstawowym, energię można oznaczyć jako E_0, czyli:

 E_0 < E_n ~ (n>0)

Można teraz założyć, że istnieje pewna funkcja w tej samej przestrzeni co \psi_n i za jej pomocą można zdefiniować parametr \epsilon:

 \epsilon = {{\int \varphi^* \hat{H} \varphi d \tau} \over {\int \varphi^* \varphi d \tau}}

Ponieważ funkcje \psi_n tworzą układ zupełny funkcji ortonormalnych, to funkcję \phi można przedstawić w postaci szeregu:

 \varphi = \sum\limits_n c_n^* \psi_n

Jeżeli funkcja φ jest także znormalizowana, to powyższe równania można przedstawić w postaci:

 \sum\limits_n c_n^* c_n = 1

a zatem parametr \epsilon będzie miał postać:

 \epsilon = \sum\limits_n c_n^* c_n E_n

Jeśli od obu stron równania odjąć wartość E_0 otrzyma się:

 \epsilon - E_0 = \sum\limits_n c_n^* c_n (E_n - E_0)

Wobec zawsze dodatniej prawej strony równania (iloczyn c_n^* i c_n oraz różnica energii są zawsze dodatnie), lewa strona równania także jest dodatnia. Skoro:

\epsilon - E_0 \geqslant 0

to:

 \epsilon \geqslant E_0

Dla danego hamiltonianu parametr \epsilon, obliczony za pomocą funkcji \phi jest większy od wartości ścisłej energii. W przypadku, gdy funkcja \phi byłaby ścisłą funkcją własną stanu podstawowego, to wówczas \epsilon = E_0.

Wynik ten w połączeniu ze wzorem jest podstawą metody wariacyjnej. Aby wyznaczyć wartość energii, należy wziąć kilka funkcji \phi_1, \phi_2, \phi_3 i obliczyć ich wartości własne \epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3. Wówczas najniższa wartość \epsilon, będzie najbliższa dla energii stanu podstawowego. W celu wyznaczenie tych wartości bierze się funkcję \phi zależną od współrzędnych r oraz od parametrów c_1, c_2, ..., c_k:

\varphi = \varphi(c_1, c_2, ... , c_k; r_1, r_2, ... , r_n)

Dla różnych wartości c_1, c_2, ..., c_k otrzymuje się różne funkcje. Następnie należy obliczyć wielkość \epsilon zależną od parametrów c_1, c_2, ..., c_k:

 \epsilon = \epsilon (c_1, c_2, ... , c_k)

Znajdując minimum względem parametrów c można znaleźć najmniejszą wartość \epsilon, która będzie najlepszym przybliżeniem energii stanu podstawowego.

Szczególnym przypadkiem metody wariacyjnej jest metoda Ritza.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]