Metody Lapunowa

Metody Lapunowa - służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego.

Wstęp

Aleksandr Lapunow przedstawił dwie metody analizy stabilności. Pierwsza z tych metod nazywana jest metodą pośrednią i pozwala na badanie stabilności lokalnej, druga - nazywana jest metodą bezpośrednią i służy do badania stabilności w ograniczonym lub nieograniczonym obszarze przestrzeni stanów układów nieliniowych. Stworzono również różne odmiany i udoskonalenia metod Lapunowa.

Druga metoda Lapunowa (zwana też bezpośrednią metodą Lapunowa) stanowi najbardziej ogólną metodę określania stabilności systemów nieliniowych i/lub niestacjonarnych. Metoda ta ma zastosowanie do układów dowolnego rzędu (ciągłych i dyskretnych, liniowych i nieliniowych). Bardzo dogodne jest to, że korzystając z drugiej metody Lapunowa można określić stabilność układu bez rozwiązywania równań stanu. Mimo, że metoda ta wymaga sporo doświadczenia i pomysłowości, może dać odpowiedź odnośnie stabilności układów nieliniowych wówczas gdy inne metody zawiodą.

Druga metoda Lapunowa ma jednak istotną wadę: problem wyznaczania dla danego układu funkcji Lapunowa. Nie istnieje żadne ogólne efektywne podejście do wyznaczania funkcji Lapunowa. Do poszukiwania stosownych funkcji Lapunowa często stosuje się metodę prób i błędów, doświadczenie, intuicję. Pomocne mogą tu być niektóre proste techniki matematyczne takie jak metoda Krasowskiego lub metoda zmiennych gradientów.

Metody stacjonarne (układ niezależny od czasu)

Pierwsza metoda

Dany jest punkt równowagi $\, x_e \,$ układu

$\, \frac{dx}{dt}=f(x) \,$.

Konstruujemy przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu $\, x_e \,$ rozwijając funkcję $\, f(x) \,$ w szereg Taylora:

$\, \frac{dx}{dt}=f(x_e)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_e)(x-x_e)+O((x-x_e)^2) \,$ gdzie:

pochodna cząstkowa $\, \frac{\partial f}{\partial x}(x_e) \,$ jest oznaczona jako $\, A \,$,

$\, O \,$ to błąd przybliżenia liniowego.

Uzyskujemy w ten sposób przybliżenie liniowe

$\, \frac{d\xi}{dt}=A\xi \,$

na podstawie którego możemy wnioskować o zachowaniu układu $\, f(x) \,$. Jeśli punkt równowagi $\, \xi_e \,$ jest stabilny to $\, x_e \,$ jest stabilny. Jeśli $\, \xi_e \,$ jest niestabilny to $\, x_e \,$ jest niestabilny. Zwykła stabilność $\, \xi_e \,$ nie pociąga za sobą stabilności $\, x_e \,$.

Druga metoda

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji $\, V(x) \,$ takiej, że:

1. $\, V(x_e)=0 \,$,
2. $\, V(x)>0 \,$ dla każdego $\, x \ne x_e \,$,
3. $\, \dot{V}(x)\le 0 \,$.

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku mamy nierówność ostrą (dla $x \neq x_e$), to układ jest asymptotycznie stabilny. Warunek 3. zwykle sprawdza się w postaci $\langle \mathrm{grad}V(x), f(x) \rangle \le 0$ odwołującej się bezpośrednio do prawej strony równania różniczkowego.

Metody niestacjonarne (układ zależy od czasu)

Pierwsza metoda

Dany jest punkt równowagi $\, x_e \,$ układu

$\; \frac{dx}{dt}=f(x,t) \;$.

Konstruujemy przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu $\, x_e \,$.

$\, \frac{dx}{dt}=f(x_e,t)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_e,t)(x-x_e)+hot(x,t) \,$

gdzie pochodna cząstkowa $\, \frac{\partial f}{\partial x}(x_e,t) \,$ jest oznaczona jako $\, A(t) \,$. Uzyskujemy w ten sposób przybliżenie liniowe

$\, \frac{dZ}{dt}=A(t)Z(t) \,$.

Tak samo jak w przypadku stacjonarnym na podstawie punktu równowagi przybliżenia liniowego wnioskujemy o punkcie równowagi badanego układu.

Druga metoda

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji $\, V(x,t) \,$ takiej, że:

posiada ona ciągłe pochodne cząstkowe po $\, x \,$ i $\, t \,$,

$\, V(x_e,t)=0 \,$ dla każdego $\, t \,$,

$\, V(x,t)< 0 \,$ dla każdego $\, x \ne x_e \,$,

$\, \dot{V}(x,t) \le 0 \,$.

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli trzeci warunek jest ostro mniejszy od zera, to układ jest asymptotycznie stabilny. Dodatkowo, jeśli możemy ograniczyć z dołu i góry funkcję Lapunowa za pomocą dwóch pomocniczych funkcji $\, \phi_1, \phi_2 \,$ to $\, x_e \,$ jest wykładniczo stabilnym punktem równowagi.