Metody Lapunowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metody Lapunowa - służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego.

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Aleksandr Lapunow przedstawił dwie metody analizy stabilności. Pierwsza z tych metod nazywana jest metodą pośrednią i pozwala na badanie stabilności lokalnej, druga - nazywana jest metodą bezpośrednią i służy do badania stabilności w ograniczonym lub nieograniczonym obszarze przestrzeni stanów układów nieliniowych. Stworzono również różne odmiany i udoskonalenia metod Lapunowa.

Druga metoda Lapunowa (zwana też bezpośrednią metodą Lapunowa) stanowi najbardziej ogólną metodę określania stabilności systemów nieliniowych i/lub niestacjonarnych. Metoda ta ma zastosowanie do układów dowolnego rzędu (ciągłych i dyskretnych, liniowych i nieliniowych). Bardzo dogodne jest to, że korzystając z drugiej metody Lapunowa można określić stabilność układu bez rozwiązywania równań stanu. Mimo, że metoda ta wymaga sporo doświadczenia i pomysłowości, może dać odpowiedź odnośnie stabilności układów nieliniowych wówczas gdy inne metody zawiodą.

Druga metoda Lapunowa ma jednak istotną wadę: problem wyznaczania dla danego układu funkcji Lapunowa. Nie istnieje żadne ogólne efektywne podejście do wyznaczania funkcji Lapunowa. Do poszukiwania stosownych funkcji Lapunowa często stosuje się metodę prób i błędów, doświadczenie, intuicję. Pomocne mogą tu być niektóre proste techniki matematyczne takie jak metoda Krasowskiego lub metoda zmiennych gradientów.

Metody stacjonarne (układ niezależny od czasu)[edytuj | edytuj kod]

Pierwsza metoda[edytuj | edytuj kod]

Dany jest punkt równowagi \, x_e \, układu

\, \frac{dx}{dt}=f(x) \, .

Konstruujemy przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu \, x_e \, rozwijając funkcję \, f(x) \, w szereg Taylora:

\, \frac{dx}{dt}=f(x_e)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_e)(x-x_e)+O((x-x_e)^2) \, gdzie:

pochodna cząstkowa \, \frac{\partial f}{\partial x}(x_e) \, jest oznaczona jako \, A \, ,
\, O \, to błąd przybliżenia liniowego.

Uzyskujemy w ten sposób przybliżenie liniowe

\, \frac{d\xi}{dt}=A\xi \,

na podstawie którego możemy wnioskować o zachowaniu układu \, f(x) \,. Jeśli punkt równowagi \, \xi_e \, jest asymptotycznie stabilny to \, x_e \, jest asymptotycznie stabilny. Jeśli \, \xi_e \, jest niestabilny to \, x_e \, jest niestabilny. Zwykła stabilność \, \xi_e \, nie pociąga za sobą stabilności \, x_e \,.

Druga metoda[edytuj | edytuj kod]

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji \, V(x) \, takiej, że:

  1. \, V(x_e)=0 \,,
  2. \, V(x)>0 \, dla każdego \, x \ne x_e \,,
  3. \, \dot{V}(x)\le 0 \,.

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla x \neq x_e), to układ jest asymptotycznie stabilny. Warunek 3. zwykle sprawdza się w postaci \langle  \mathrm{grad}V(x), f(x)  \rangle \le 0 odwołującej się bezpośrednio do prawej strony równania różniczkowego.

Metody niestacjonarne (układ zależy od czasu)[edytuj | edytuj kod]

Pierwsza metoda[edytuj | edytuj kod]

Dany jest punkt równowagi \, x_e \, układu

\; \frac{dx}{dt}=f(x,t) \;.

Konstruujemy przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu \, x_e \,.

\, \frac{dx}{dt}=f(x_e,t)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_e,t)(x-x_e)+hot(x,t) \,

gdzie pochodna cząstkowa \, \frac{\partial f}{\partial x}(x_e,t) \, jest oznaczona jako \, A(t) \,. Uzyskujemy w ten sposób przybliżenie liniowe

\, \frac{dZ}{dt}=A(t)Z(t) \,.

Tak samo jak w przypadku stacjonarnym na podstawie punktu równowagi przybliżenia liniowego wnioskujemy o punkcie równowagi badanego układu.

Druga metoda[edytuj | edytuj kod]

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji \, V(x,t) \, takiej, że:

posiada ona ciągłe pochodne cząstkowe po \, x \, i \, t \,,
\, V(x_e,t)=0 \, dla każdego \, t \,,
\, V(x,t)< 0 \, dla każdego \, x \ne x_e \,,
\, \dot{V}(x,t) \le 0 \,.

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla x \neq x_e), to układ jest asymptotycznie stabilny. Dodatkowo, jeśli możemy ograniczyć z dołu i góry funkcję Lapunowa za pomocą dwóch pomocniczych funkcji \, \phi_1, \phi_2 \, to \, x_e \, jest wykładniczo stabilnym punktem równowagi.