Metody Lapunowa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Metody Lapunowa - służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego.

Spis treści

[edytuj] Metody stacjonarne (układ niezależny od czasu)

[edytuj] Pierwsza metoda

Dany jest punkt równowagi \, x_e \, układu

\, \frac{dx}{dt}=f(x) \, .

Konstruujemy przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu \, x_e \, rozwijając funkcję \, f(x) \, w szereg Taylora:

\, \frac{dx}{dt}=f(x_e)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_e)(x-x_e)+O((x-x_e)^2) \, gdzie:

pochodna cząstkowa \, \frac{\partial f}{\partial x}(x_e) \, jest oznaczona jako \, A \, ,
\, O \, to błąd przybliżenia liniowego.

Uzyskujemy w ten sposób przybliżenie liniowe

\, \frac{d\xi}{dt}=A\xi \,

na podstawie którego możemy wnioskować o zachowaniu układu \, f(x) \,. Jeśli punkt równowagi \, \xi_e \, jest stabilny to \, x_e \, jest stabilny. Jeśli \, \xi_e \, jest niestabilny to \, x_e \, jest niestabilny. Zwykła stabilność \, \xi_e \, nie pociąga za sobą stabilności \, x_e \,.

[edytuj] Druga metoda

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji \, V(x) \, takiej, że:

\, V(x_e)=0 \,,
\, V(x)>0 \, dla każdego \, x \ne x_e \,,
\, \dot{V}(x)\le 0 \,.

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli trzeci warunek jest ostro mniejszy od zera, to układ jest asymptotycznie stabilny.


[edytuj] Metody niestacjonarne (układ zależy od czasu)

[edytuj] Pierwsza metoda

Dany jest punkt równowagi \, x_e \, układu

\; \frac{dx}{dt}=f(x,t) \;.

Konstruujemy przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu \, x_e \,.

\, \frac{dx}{dt}=f(x_e,t)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_e,t)(x-x_e)+hot(x,t) \,

gdzie pochodna cząstkowa \, \frac{\partial f}{\partial x}(x_e,t) \, jest oznaczona jako \, A(t) \,. Uzyskujemy w ten sposób przybliżenie liniowe

\, \frac{dZ}{dt}=A(t)Z(t) \,.

Tak samo jak w przypadku stacjonarnym na podstawie punktu równowagi przybliżenia liniowego wnioskujemy o punkcie równowagi badanego układu.

[edytuj] Druga metoda

Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji \, V(x,t) \, takiej, że:

posiada ona ciągłe pochodne cząstkowe po \, x \, i \, t \,,
\, V(x_e,t)=0 \, dla każdego \, t \,,
\, V(x,t)>0 \, dla każdego \, x \ne x_e \,,
\, \dot{V}(x,t) \le 0 \,.

Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.

Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli trzeci warunek jest ostro mniejszy od zera, to układ jest asymptotycznie stabilny. Dodatkowo, jeśli możemy ograniczyć z dołu i góry funkcję Lapunowa za pomocą dwóch pomocniczych funkcji \, \phi_1, \phi_2 \, to \, x_e \, jest wykładniczo stabilnym punktem równowagi.

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Metody_Lapunowa”
Utwórz książkę