Metryka Schwarzschilda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ogólna teoria względności
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Rozwiązanie Schwarzschilda – rozwiązanie równań Einsteina ogólnej teorii względności, opisujące pole grawitacyjne wokół sferycznie symetrycznej nierotującej masy, takiej jak gwiazda, planeta czy czarna dziura. Daje ono również dobre przybliżenie dla pola grawitacyjnego w pobliżu wolno obracających się ciał, takich jak Ziemia czy Słońce.

Zgodnie z twierdzeniem Birkhoffa, rozwiązanie Schwarzschilda jest najbardziej ogólnym sferycznie symetrycznym rozwiązaniem próżniowym równań pola Einsteina. Zostało ono znalezione przez Karla Schwarzschilda w 1915 roku, zaledwie miesiąc po ogłoszeniu ogólnej teorii względności przez Einsteina. Było to pierwsze ścisłe rozwiązanie równań pola Einsteina, nie licząc trywialnego rozwiązania dla czasoprzestrzeni bez materii i energii.

Czarna dziura Schwarzschilda jest scharakteryzowana wyłącznie przez swoją masę – nie posiada ładunku elektrycznego ani momentu pędu. Innymi słowy, taka czarna dziura (zwana też „statyczną”) jest nieodróżnialna od innej o tej samej masie. Obiekt tego typu otoczony jest przez sferyczną powierzchnię, zwaną horyzontem zdarzeń, o promieniu wprost proporcjonalnym do masy czarnej dziury (zwanym promieniem Schwarzschilda). Dowolne zapadające się ciało obdarzone masą, nieposiadające momentu pędu i ładunku, po osiągnięciu promienia grawitacyjnego staje się czarną dziurą Schwarzschilda. W ogólnej teorii względności nie ma ograniczeń na masę czarnej dziury tego typu, przy czym spodziewane jest istnienie dolnej granicy ze względu na efekty kwantowe.

Opis matematyczny[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązanie Schwarzschilda jest matematycznie opisane przez metrykę Schwarzschilda, która we współrzędnych Schwarzschilda ma postać:


c^2 {d \tau}^{2} = 
\left(1 - \frac{r_s}{r} \right) c^2 dt^2 - \frac{dr^2}{1-\frac{r_s}{r}} - r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right)

gdzie:

τ to czas własny,
c to prędkość światła,
t jest współrzędną czasową (czasem mierzonym przez stacjonarnego obserwatora w nieskończoności),
r jest współrzędną radialną (obwodem koła o środku w centrum obiektu, podzielonym przez 2π),
θ jest współrzędną azymutalną,
φ jest współrzędną zenitalną,
rs jest promieniem Schwarzschilda obiektu, związanym z jego masą M poprzez

r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}
zaś G jest newtonowską stałą grawitacji.

Rozwiązanie Schwarzschilda jest relatywistycznym odpowiednikiem pola grawitacyjnego wokół masywnej cząstki punktowej w klasycznej newtonowskiej teorii grawitacji[1].

W praktyce stosunek rs/r jest właściwie zawsze bardzo mały, stosunek ten jest znaczący jedynie dla supergęstych obiektów zwartych, takich jak czarne dziury czy gwiazdy neutronowe.

Metryka Schwarzschilda jest rozwiązaniem równań pola Einsteina w pustej przestrzeni, co oznacza, że dotyczy ono wyłącznie obszaru „na zewnątrz” ciała obdarzonego masą. Innymi słowy, dla obiektu o promieniu R, rozwiązanie Schwarzschilda dotyczy tylko obszaru o r > R. W celu opisania pola grawitacyjnego również wewnątrz danego ciała, rozwiązanie to należy połączyć (zszyć) w r = R z odpowiednim rozwiązaniem dla części wewnętrznej.

Inne metryki dla czarnych dziur[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. J. Ehlers. Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes. „Classical and Quantum Gravity”. 14, s. A119–A126, 1997. doi:10.1088/0264-9381/14/1A/010.