Miara σ-skończona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miara skończona – w teorii miary, miara przypisująca skończoną wartość przestrzeni mierzalnej, na której jest określona.

Miara σ-skończona a. półskończona – miara, dla której przestrzeń może być przedstawiona w postaci sumy przeliczalnie wielu zbiorów miary skończonej. Każda miara skończona jest σ-skończona. Pojęcie σ-skończoności uogólnia się mutatis mutandis na dowolne funkcje zbiorów.

Miary, które nie są σ-skończone uznawane są w praktyce matematycznej za miary w pewnym sensie patologiczne. Większość zasadniczych twierdzeń teorii miary (przykładowo twierdzenie Fubiniego czy twierdzenie Radona-Nikodyma) wymaga założenia σ-skończoności miary.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Miara Lebesgue'a w przestrzeni \mathbb R^n nie jest skończona, ale jest σ-skończona, gdyż
\mathbb R^n = \bigcup_{k=1}^\infty~\underbrace{[-k,k] \times \dots \times [-k,k]}_{n\;\rm{ razy}}.
  • Miara licząca jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze skończonym oraz σ-skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze przeliczalnym.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]