Miara σ-skończona

Miara skończona – w teorii miary, miara przypisująca skończoną wartość przestrzeni mierzalnej, na której jest określona.

Miara σ-skończona a. półskończona – miara, dla której przestrzeń może być przedstawiona w postaci sumy przeliczalnie wielu zbiorów miary skończonej. Każda miara skończona jest σ-skończona. Pojęcie σ-skończoności uogólnia się mutatis mutandis na dowolne funkcje zbiorów.

Miary, które nie są σ-skończone uznawane są w praktyce matematycznej za miary w pewnym sensie patologiczne. Większość zasadniczych twierdzeń teorii miary (przykładowo twierdzenie Fubiniego czy twierdzenie Radona-Nikodyma) wymaga założenia σ-skończoności miary.

Przykłady

• Miara Lebesgue'a w przestrzeni $\mathbb R^n$ nie jest skończona, ale jest σ-skończona, gdyż

$\mathbb R^n = \bigcup_{k=1}^\infty~\underbrace{[-k,k] \times \dots \times [-k,k]}_{n\;\rm{ razy}}.$

• Miara licząca jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze skończonym oraz σ-skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze przeliczalnym.

Bibliografia

• Paul Halmos: Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., 1950, s. 56.
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 140.