Miara (matematyka)

Nieformalnie miara przypisuje zbiorom nieujemne liczby rzeczywiste tak, by większym zbiorom odpowiadały większe liczby.

Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.

Pojęcie to wyrosło z potrzeby bardziej usystematyzowanego spojrzenia na zagadnienia długości, pola powierzchni czy objętości w pracach Lebesgue'a nad jego miarą. Nie wszystkie zastosowania miar muszą mieć związek z wielkościami fizycznymi. Nieformalnie, dla danego zbioru, „miara” jest dowolnym spójnym przypisaniem „wielkości” (pewnym) podzbiorom tego zbioru.

W zależności od zastosowań „wielkość” podzbioru może oznaczać jego liczność, ilość elementów posiadających pewną cechę lub prawdopodobieństwo wystąpienia pewnego zdarzenia losowego. Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o bardziej skomplikowanej strukturze niż przedziały prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się najczęściej w teorii prawdopodobieństwa i wielu działach analizy matematycznej.

Często niemożliwym lub niepożądanym jest przypisywanie miary wszystkim podzbiorom danego zbioru, dlatego też nie wymaga się tego w jej definicji. Istnieją jednak pewne warunki spójności rządzące typami kombinacji podzbiorów, którym można przypisać wielkość za pomocą miary; zawierają się one w dodatkowym pojęciu przestrzeni mierzalnej.

Teoria miary (lub czasami ogólniej: teoria miary i całki) jest gałęzią analizy rzeczywistej, która bada σ-algebry, miary, funkcje mierzalne oraz całki.

Definicja

Niech $\mathcal{A}$ będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru $\,\Omega$. Funkcję

$\mu\colon \mathcal{A}\to [0,\infty]$

nazywamy miarą, gdy

• $\mu(\varnothing)=0$
• $\mu(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n )=\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$

dla każdej rodziny zbiorów parami rozłącznych $A_1, A_2, A_3, \ldots \in\mathcal{A}$.

Parę $(\Omega, \mathcal{A})$ nazywamy przestrzenią mierzalną, natomiast trójkę $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ - przestrzenią z miarą.

Miary, które spełniają warunek

$\mu(\Omega)=1\,$

nazywamy miarami probabilistycznymi. Miary tego rodzaju są zasadniczym pojęciem w nowoczesnej teorii prawdopodobieństwa.

Własności

Niech $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech $E_1, E_2, E_3, \ldots$ ciągiem elementów $\mathcal{A}$.

• Monotoniczność: Jeśli $E,F\in \mathcal{A}$ oraz $E\subseteq F$, to $\mu(E)\leq \mu(F)$
• Podaddytywność:

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty~E_i\right) \leqslant \sum_{i=1}^\infty~\mu(E_i)$.

• Jeżeli $E,F\in \mathcal{A},\, E\subseteq F$ oraz $\mu(E)<\infty$, to

$\mu(F\setminus E)=\mu(F)-\mu(E)$.

• Ciągłość z dołu: jeśli $E_n\subseteq E_{n+1}$ dla każdej liczby $n$,

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty~E_i\right) = \lim_{i \to \infty}~\mu(E_i)$.

• Ciągłość z góry : jeśli $E_{n+1}\subseteq E_{n}$ oraz $\mu(E_1)<\infty$, to

$\mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty~E_i\right) = \lim_{i \to \infty}~\mu(E_i)$.

Powyższa własność jest fałszywa bez założenia o skończoności miary przynajmniej jednego zbioru $E_k$ - istotnie, niech

$E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb R$,

wszystkie zbiory $E_n$ są miary nieskończonej, ale

$\bigcap_{n=1}^\infty E_n=\varnothing$.

Miary σ-skończone

Jeśli $(X, \mathfrak A, \mu)$ jest przestrzenią z miarą, to miarę $\mu$ nazywa się

• skończoną, gdy $\mu(X) < \infty.$
• σ-skończoną albo półskończoną, gdy istnieje ciąg zbiorów $A_n \in \mathfrak M\ (n \in \mathbb N)$ takich, że $\mu(A_n) < \infty$ oraz

$X = \bigcup_{n=1}^\infty A_n.$

Innymi słowy, miara σ-skończona umożliwia przedstawienie przestrzeni, na której jest określona, jako przeliczalnej sumy zbiorów miary skończonej.

Na przykład miara Lebesgue'a jest miarą σ-skończoną. Istotnie,

$\mathbb{R}=\bigcup_{n=1}^\infty[-n, n]$,

gdzie każdy przedział postaci $[-n, n]$ jest oczywiście długości (miary) $n-(-n)=2n$.

Jeżeli jednak $\mu$ jest miarą liczącą na prostej, to znaczy miarą przypisującą skończonym podzbiorom zbioru liczb rzeczywistych liczbę ich elementów, a zbiorom nieskończonym "$\infty$", to $\mu$ nie jest miarą σ-skończoną. Istotnie, zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny - żadnego zbioru nieprzeliczalnego nie da się przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów skończonych.

Miary, które nie są σ-skończone, uznawane są, w pewnym sensie, za patologiczne.

Zupełność

Miarę nazywa się zupełną, gdy każdy podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny, a więc w konsekwencji miary zero. Nie każda miara jest zupełna - na przykład, miara Lebesgue'a obcięta do σ-ciała borelowskich podzbiorów prostej nie jest zupełna. Można to uzasadnić korzystając z następujących faktów:

• Rodzina borelowskich podzbiorów prostej jest mocy $\mathfrak{c}$ (continuum).
• Zbiór Cantora, jako zbiór domknięty, jest borelowski. Jest, ponadto, miary zero oraz mocy continuum, a więc rodzina jego wszystkich podzbiorów jest mocy $2^{\mathfrak{c}}$, co oznacza iż jego podzbiorów jest więcej niż wszystkich zbiorów borelowskich.

Podzbiory zbiorów miary zero, nazywane są zbiorami zaniedbywalnymi. Twierdzenie Carathéodory'ego o rozszerzaniu miary mówi, że każdą miarę można rozszerzyć do miary (określonej na większym σ-ciele, rozszerzonym o zbiory zaniedbywalne), która jest zupełna (tzw. uzupełnienie miary). Miara Lebesgue'a na rodzinie zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a jest uzupełnieniem miary Lebesgue'a na rodzinie zbiorów borelowskich.

Przykłady

• miara licząca,
• miara Lebesgue'a,
• miara Haara,
• miara Hausdorffa,
• miara probabilistyczna,
• miara Diraca.

Do innych ważnych przykładów zalicza się miary: borelowską, Jordana, ergodyczną, Eulera, Gaussa, Baire'a oraz Radona.

Zbiory niemierzalne

Jeśli $(\Omega, \mathcal{A})$ jest przestrzenią mierzalną, to podzbiory $\Omega$, które nie należą do $\mathcal{A}$ nazywamy zbiorami niemierzalnymi (względem $\mathcal{A})$.

Pod pojęciem zbiorów niemierzalnych matematycy mają na myśli najczęściej zbiory, które nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a. Rodzinę $\mathcal{L}$ zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a najczęściej opisuje się jako rodzinę tych podzbiorów prostej, które spełniają warunek Caratheodory'ego dla miary zewnętrznej Lebesgue'a. Naturalnym pytaniem matematyków było więc czy wszystkie podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'a?. Okazuje się, że nie można udzielić odpowiedzi na to pytanie używając tylko aksjomatyki Zermelo-Fraenkela (bez aksjomatu wyboru). Zakładając aksjomat wyboru można jednak udowodnić istnienie niemierzalnych podzbiorów prostej; do przykładów takich zbiorów należą

• zbiór Vitalego
• zbiór Bernsteina
• elementy paradoksalnego rozkładu kuli - zob. paradoks Banacha-Tarskiego.
• zbiór Sierpińskiego, zbiór Łuzina (aby udowodnić istnienie tych zbiorów należy założyć dodatkowo hipotezę continuum).

Można wykazać (zakładając AC), że każdy zbiór dodatniej miary Lebesgue'a zawiera podzbiór niemierzalny.

Uogólnienia

Rozważa się również „miary”, których wartości nie są ograniczone do nieujemnych liczb rzeczywistych i nieskończoności. Dla przykładu przeliczalnie addytywna funkcja w cały zbiór liczb rzeczywistych jest nazywana miarą ze znakiem, z kolei taką funkcję o wartościach w liczbach zespolonych nazywa się miarą zespoloną. Uważnie badano miary przyjmujące wartości w przestrzeniach Banacha. Miara, która przyjmuje wartości w zbiorze samosprzężonych rzutów na przestrzeń Hilberta nazywana jest miarą spektralną; są one używane głównie w twierdzeniu spektralnym analizy funkcjonalnej. Jeżeli zachodzi potrzeba odróżnienia zwykłej miary przyjmującej wartości nieujemne od jednego z jej uogólnień, to używa się zwykle pojęcia „miara dodatnia”.

Innym uogólnieniem jest miara skończenie addytywna. Jest ona tym samym co zwykła miara z wyjątkiem wymagania tylko skończonej zamiast przeliczalnej addytywności. Chronologicznie definicja ta pojawiła się pierwsza, ale szybko stwierdzono, że jest ona mało użyteczna. Miary skończenie addytywne są jednak powiązane z takimi pojęciami jak: granice Banacha, przestrzeń dualna do L^∞ oraz uzwarcenie Čecha-Stone'a. Wszystkie wspomniane pojęcia są zaś powiązane w pewien sposób z aksjomatem wyboru.

Ważny wynik geometrii całkowej, znany jako twierdzenie Hadwigera mówi, że przestrzeń funkcji niezmienniczych ze względu na przesunięcia, skończenie addytywnych, niekoniecznie nieujemnych zbiorów określona na skończonej sumie zwartych zbiorów wypukłych w $\mathbb R^n$ składa się (z dokładnością do mnożenia skalarnego) z jednej „miary”, która jest „jednorodna stopnia $k$” dla każdego $k = 0, 1, 2, \dots, n$ i kombinacji liniowych tych „miar”. „Jednorodna stopnia $k$” oznacza, że skalowanie dowolnego zbioru przez dowolny współczynnik $c>0$ mnoży „miarę” zbioru przez $c^k$. Jednorodną stopnia $n$ jest zwykła $n$-wymiarowa objętość, jednorodną stopnia $n-1$ jest „objętość powierzchni”, jednorodną stopnia $1$ jest tajemnicza funkcja nazywana „błędną szerokością” (przekorna nazwa), jednorodną stopnia zero jest charakterystyka Eulera.

Zobacz też

• miara zewnętrzna
• miara wewnętrzna
• miara skończenie addytywna
• miara absolutnie ciągła
• miary wzajemnie osobliwe
• miara produktowa
• miara wektorowa
• całka Lebesgue'a
• twierdzenie o rozszerzeniu miary
• funkcja mierzalna
• twierdzenie Steinhausa
• geometryczna teoria miary

Bibliografia

• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• R. Duncan Luce i Louis Narens (1987). „measurement, theory of,” The New Palgrave: A Dictionary of Economics, t. 3, s. 428-32.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E. i Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, tł. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Akcentuje całkę Daniella.
• Pewne użyteczne notatki Tripos Cambridge na temat prawdopodobieństwa i teorii miary link
• A. Birkholc, „Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych”, PWN, Warszawa 1986.