Miara bezatomowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miara bezatomowa - w teorii miary to taka miara, że dowolny zbiór miary dodatniej można podzielić na dwa podzbiory miary dodatniej.


Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego \mu-mierzalnego zbioru A można skonstruować zstępującą rodzinę zbiorów A=A_1\supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots taką, że

\mu(A)=\mu(A_1) > \mu(A_2) > \mu(A_3) > \cdots > 0.

jeśli miara nie jest bezatomowa to konstrukcja taka (dla pewnych zbiorów A) nie jest możliwa.

Dla miar bezatomowych prawdziwe jest także twierdzenie:

Dla dowolnego zbioru mierzalnego A takiego, że \mu(A)>0 i dla każdej liczby rzeczywistej 0<b<\mu(A) istnieje taki podzbiór B\subsetneq A, że \mu(B)=b.

Skąd można wnioskować, że \mu przyjmuje nieprzeliczanie wiele wartości.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Definicję miary bezatomowej można rozszerzyć na σ-addytywne funkcje zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Będziemy je dalej nazywać miarami rzeczywistymi.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathfrak{M} będzie σ-ciałem, miarę rzeczywistą \mu określona na \mathfrak{M} nazywamy bezatomową, jeśli dla każdego zbioru A \in \mathfrak{M} takiego, że |\mu|(A)>0, istnieje \mathfrak{M} \ni E \subseteq A taki, że 0<|\mu|{(E)}<|\mu|(A). Przez |\mu| oznaczamy wahanie całkowite miary rzeczywistej \mu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]