Miara kąta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miara kąta to wielkość kąta wyrażona w odpowiednich jednostkach. W matematyce i jej zastosowaniach teoretycznych używa się miary łukowej.

Miara Łukowa Kąta.svg

Jest to długość łuku wyciętego przez kąt z okręgu o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta. Tak określona miara wyraża się liczbą niemianowaną (bezwymiarową) i może przyjmować wartości z zakresu 0 do 2π. Jednostkę miary łukowej nazywamy radianem.

W życiu codziennym używa się zwykle miary stopniowej. Kąt pełny dzielimy na 360 stopni kątowych (symbol: °), każdy z nich na 60 minut kątowych (symbol: ′), a każdą z nich na 60 sekund kątowych (symbol: ″). Ułamki sekund kątowych podawane są już dziesiętnie.

Tę właśnie miarę wykorzystuje się w popularnych kątomierzach.

W praktyce militarnej i geodezyjnej stosowany bywa podział kąta pełnego na 400 gradów (lub gradusów, symbol: g), z których każdy dzieli się na 100 centygradów (symbol: c), a każdy z nich na 100 myriogradów (symbol: cc). Podział taki ułatwia ręczne (pisemne) dodawanie i odejmowanie, ponieważ przeniesienia i pożyczki wykonuje się jak przy zwykłych liczbach dziesiętnych, bez konieczności przeliczania na 60 i 90 jednostek.

W pomiarach nachylenia nawierzchni używa się miary procentowej (np. przy określeniu nachylenia nawierzchni drogi). Przykładowo 1% oznacza górkę o wysokości 1 cm na 100 cm długości. Oblicza się to według wzoru:

Nachylenie = \frac{H}{L} * 100, gdzie L to długość danego fragmentu stoku, a H wysokość tego fragmentu.

Miara kąta potocznie nazywana jest kątem.

Przykłady zapisu miary kąta
W mierze... zapis czytamy
stopniowej 10°23′45″76 10 stopni, 23 minuty, 45 i 76 setnych sekundy
gradowej 87g65c43cc21 87 gradów, 65 ce, 43 i 21 setnych cece
co oznacza 87,654321 grada

Używa się również (gł. w artylerii) jednostki zwanej tysiączną. Definiuje się ją jako miarę kąta środkowego, który z okręgu o promieniu 1km wycina łuk o długości 1m. Tysięczna rzeczywista jest więc równa 1/1000 radiana, w przybliżeniu 1/6283,2 kąta pełnego. Spotyka się też definicje:

tysięczna artyleryjska
1 ma = 1/6400 kąta pełnego
tysięczna Rimailho
1 mR = 1/6000 kąta pełnego

zatem na kilometrowym okręgu:

kątowi odpowiada łuk
1/1000 rad 100 cm
1 ma 105 cm
1 mR 98 cm

Dla porównania:

kątowi odpowiada łuk
1' 29,09 cm
1c 15,71 cm

Porównanie miar[edytuj | edytuj kod]

Argumenty funkcji trygonometrycznych dla liczb rzeczywistych można zinterpretować jako miarę kąta. Matematycy używają jednak praktycznie wyłącznie radianów. Miara stopniowa jest dość popularna, jednak w stosunku do radianów powoduje pewne komplikacje przy obliczeniach trygonometrycznych:

Dla kątów bliskich zeru długość łuku okręgu jednostkowego (czyli kąt wyrażony w radianach) jest w przybliżeniu równa wartości funkcji sinus, stąd pochodna funkcji sinus dla x=0 wynosi 1. 1 jest też wartością funkcji cosinus dla x=0. Okazuje się, że ogólnie:

\sin^\prime x=\cos x
\sin^{\prime\prime} x=-\sin x
\sin^{\prime\prime\prime} x=-\cos x
\sin^{\prime\prime\prime\prime} x=\sin x

Tak jest jednak tylko dla kątów wyrażonych w radianach (miara łukowa).

Oznaczmy na potrzeby tej sekcji funkcje sinus i cosinus dla stopni przez \sin_{\mathrm{deg}} x=\sin\tfrac{\pi}{180}x oraz \cos_{\mathrm{deg}} x=\cos\tfrac{\pi}{180}x.

Teraz:

\sin_{\mathrm{deg}}^\prime x=\tfrac{\pi}{180}\cos_{\mathrm{deg}} x
\sin_{\mathrm{deg}}^{\prime\prime} x=-\tfrac{\pi^2}{180^2}\sin_{\mathrm{deg}} x
\sin_{\mathrm{deg}}^{\prime\prime\prime} x=-\tfrac{\pi^3}{180^3}\cos_{\mathrm{deg}} x
\sin_{\mathrm{deg}}^{\prime\prime\prime\prime} x=\tfrac{\pi^4}{180^4}\sin_{\mathrm{deg}} x

We wzorach pojawiły się dodatkowe współczynniki. Takie współczynniki są różne od 1 przy każdej mierze kąta oprócz miary łukowej (radianów). Podobne utrudnienia powstałyby także w rozwinięciach funkcji trygonometrycznych w postaci szeregów (omówione są tutaj) i w wielu innych miejscach w analizie matematycznej.

Ponadto miara łukowa ma prostą interpretację geometryczną: jest to długość części okręgu jednostkowego o środku w wierzchołku kąta zawartej w danym kącie.

Miara łukowa jest więc w pewnym sensie wyróżniona wśród wszelkich możliwych miar kątów i najbardziej naturalna, dlatego powszechnie stosuje się ją w matematyce i do niej dostosowane są definicje funkcji trygonometrycznych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]