Miara martyngałowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miara martyngałowa (lub miara obojętna na ryzyko) jest podstawowym pojęciem z zakresu matematyki finansowej. Używa się jej do wyceny instrumentów bazowych oraz pochodnych na rynkach zupełnych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech B_t oznacza wartość instrumentu dyskontowego w momencie t, a V_t cenę instrumentu o wypłacie X zapadającego w chwili T. Miarą martyngałową P^* nazywamy taką miarę probabilistyczną, że:

  1. \mathbb{P}^*\sim\mathbb{P} (miara jest równoważna rzeczywistej mierze)
  2. V_t = \operatorname{E}_{P^*}\left(\frac{B_t}{B_T}X|\mathcal F_ t\right).

Dla rynków skończonych zachodzenie powyższego warunku dla procesów cen instrumentów bazowych S_t jest rownoważna jego prawdziwości dla instrumentów pochodnych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Model dwumianowy[edytuj | edytuj kod]

Dla jednookresowego modelu CRR o własności S_1=S_o U , gdzie U przyjmuje wartości 1+a oraz 1+b, a B_t=1+r miara martyngałowa jest zdefiniowana w następujący sposób:

\mathbb{P}(U=1+a)=\frac{b-r}{b-a}

\mathbb{P}(U=1+b)=\frac{r-a}{b-a}

Warunkiem koniecznym dla braku istnienia arbitrażu jest ograniczenie na stopę procentową r\in(\min\{a,b\},\max\{a,b\}).

Dla n-okresowego modelu CRR miara martyngałowa przyjmuje następującą postać:

\mathbb{P}\left(S_n=S_0 (1+a)^k (1+b)^{n-k}\right)=\binom{n}{k}\frac{(b-r)^k(r-a)^{n-k}}{(b-a)^n}

Model Blacka – Scholesa[edytuj | edytuj kod]

W klasycznym modelu Blacka – Scholesa miarą martyngałową P^* określa równanie:

d\mathbb{P^*}= exp\left(\frac{r-\mu}{\sigma}W_T-\frac{T}{2}\left(\frac{r-\mu}{\sigma}\right)^2\right) d\mathbb{P},

gdzie \mu jest współczynnikiem dryfu, \sigma zmienności, zaś r oznacza bezryzykowną stopę procentową. Proces

W_t^{B-S} = W_t - \frac{r-\mu}{\sigma}t

jest procesem Wienera w mierze martyngałowej.

Wzór ten można uzyskać po zastosowaniu twierdzenia Girsanowa.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: SCRIPT, 2006. ISBN 83-89716-06-2.