Miara niezmiennicza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Miara niezmienniczamiara zachowywana przez pewną funkcję. Są one szczególnym obszarem zainteresowań w studiach nad układami dynamicznymi. Twierdzenie Kryłowa-Bogolubowa mówi o istnieniu miar niezmienniczych pod pewnymi warunkami względem danych: funkcji i przestrzeni.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią mierzalną i dana będzie funkcja mierzalna O mierze określonej na mówi się, że jest niezmiennicza ze względu na jeżeli dla każdego zbioru mierzalnego zachodzi

Rodzinę miar (zwykle probabilistycznych, np. rozkładów prawdopodobieństwa) niezmienniczych na oznacza się czasami symbolem Rodzina miar ergodycznych, jest podzbiorem Co więcej, dowolna kombinacja wypukła dwóch miar niezmienniczych również jest miarą niezmienniczą, zatem jest zbiorem wypukłym; składa się dokładnie z punktów ekstremalnych

W przypadku układu dynamicznego gdzie jest przestrzenią mierzalną jak wyżej, jest monoidem, a jest odwzorowaniem przepływu (operatorem rozwiązania), to określoną na nazywa się miarą niezmienniczą, gdy jest ona niezmiennicza dla każdego odwzorowania Dokładniej, jest niezmiennicza wtedy i tylko wtedy, gdy

Innymi słowy jest miarą niezmienniczą ciągu zmiennych losowych (np. łańcuchem Markowa lub rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego), jeżeli zachodzi wynikanie: jeśli jest rozkładem warunku początkowego to jest ona też rozkładem dla dowolnego późniejszego czasu

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Rozważmy prostą rzeczywistą z jej standardowym σ-ciałem borelowskim; ustalając weźmy przekształcenie przesunięcia dane wzorem:
Wówczas jednowymiarowa miara Lebesgue’a jest niezmiennicza względem
  • Ogólniej, w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej z jej standardową σ-algebrą borelowską -wymiarowa miara Lebesgue’a jest niezmiennicza względem dowolnej izometrii przestrzeni euklidesowej, tzn. przekształcenia które może być zapisane wzorem
gdzie jest pewną macierzą ortogonalną stopnia a wektorem z
  • Miara niezmiennicza z pierwszego przykładu jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do trywialnej renormalizacji o stały czynnik. Jednak nie jest to przypadek ogólny: rozważmy następujący zbiór dwuelementowy oraz przekształcenie identycznościowe na tym zbiorze. Wówczas dowolna miara probabilistyczna jest niezmiennicza. Zauważmy też, że ma w trywialny sposób podział na -niezmiennicze składowe oraz