Miara obrazowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara obrazowa (ang. pushforward measure, od pushing forward, dosł. „przepychać, pchać w przód”) – w teorii miary, dziale matematyki, miara uzyskiwana poprzez przeniesienie pewnej miary z jednej przestrzeni mierzalnej do innej za pomocą funkcji mierzalnej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla danych przestrzeni mierzalnych (X, \mathfrak M) i (Y, \mathfrak N), funkcji mierzalnej f\colon X \to Y oraz miary \mu\colon \mathfrak M \to [0, \infty] miarą obrazową miary \mu nazywa się miarę f_*(\mu)\colon \mathfrak N \to [0, \infty] daną wzorem

\bigl(f_*(\mu)\bigr)(B) = \mu\left(f^{-1}(B)\right) \mbox{ dla } B \in \mathfrak N.

Definicja ta przenosi się mutatis mutandis na miary ze znakiem i zespolone.

Przykłady i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

f^{(n)} = \underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \mbox{ razy}}\colon X \to X.
Powyższe funkcje iterowane tworzą układ dynamiczny. Badanie takich układów oznacza m.in. poszukiwanie miary \mu na X, której przekształcenie f zachowuje, tzw. miary niezmienniczej, czyli takiej, dla której f_*(\mu) = \mu.
  • Można również rozważać miary quasi-niezmiennicze dla takiego układu dynamicznego: miara \mu na X nazywa się quasi-niezmienniczą względem f, jeżeli tylko miara obrazowa \mu w f jest równoważna oryginalnej mierze \mu (nie musi być jej równa).