Przestrzeń probabilistyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Miara probabilistyczna)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy prawdopodobieństwa zdefiniowanego przez Kołmogorowa. Zobacz też: inne definicje prawdopodobieństwa.

Przestrzeń probabilistyczna – w teorii prawdopodobieństwa struktura umożliwiająca modelowanie doświadczenia losowego poprzez wskazanie zdarzeń losowych i przypisanie im w sensowny sposób prawdopodobieństwa; układ \scriptstyle (\Omega, \mathcal F, \mathbb P) składający się z niepustego zbioru \scriptstyle \Omega nazywanego przestrzenią zdarzeń elementarnych, określonego na nim σ-ciała \scriptstyle \mathcal F nazywanego przestrzenią zdarzeń losowych oraz określonej na \scriptstyle \mathcal F (dodatniej) miary \scriptstyle \mathbb P spełniającej \scriptstyle \mathbb P(\Omega) = 1 (\scriptstyle \Omega \in \mathcal F) i nazywanej miarą probabilistyczną bądź prawdopodobieństwem; w teorii miary tego rodzaju miary określa się jako unormowane.

Aksjomaty Kołmogorowa[edytuj | edytuj kod]

Powszechnie dziś stosowana definicja prawdopodobieństwa przytoczona we wstępie została sformułowana po raz pierwszy w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa w postaci aksjomatów teorii prawdopodobieństwa, nazywanych też aksjomatami Kołmogorowa; charakteryzują one funkcję \scriptstyle \mathbb P\colon \mathcal F \to \mathbb R określoną na ustalonej przestrzeni mierzalnej \scriptstyle (\Omega, \mathcal F) o wartościach rzeczywistych jako prawdopodobieństwo:

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja \scriptstyle \mathbb P jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną. Przestrzeń mierzalną \scriptstyle (\Omega, \mathcal F) z miarą probabilistyczną \scriptstyle \mathbb P, czyli układ \scriptstyle (\Omega, \mathcal F, \mathbb P), nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: miara – własności.

Wprost z drugiego aksjomatu wynika, że prawdopodobieństwo jest miarą skończoną; niech \scriptstyle A, B \in \mathcal F, wówczas wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają również następujące własności:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \scriptstyle \Omega jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że \scriptstyle \mathcal F jest rodziną wszystkich podzbiorów \scriptstyle \mathcal P(\Omega) zbioru \scriptstyle \Omega, a funkcja \scriptstyle \mathbb P dana jest wzorem

\mathbb P(A) = \frac{\#A}{\#\Omega} \quad\mbox{ dla każdego } A \in \mathcal F, \mbox{ tzn. } A \subseteq \Omega,

gdzie \scriptstyle \#C oznacza moc zbioru \scriptstyle C; przestrzeni probabilistycznej (\scriptstyle \Omega, \mathcal P(\Omega), \mathbb P\displaystyle) odpowiada tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa[1].

Jeśli \scriptstyle \Omega jest przedziałem jednostkowym \scriptstyle [0, 1], a rodzina \scriptstyle \mathcal F jest σ-ciałem \scriptstyle \mathfrak L_{[0, 1]} mierzalnych w sensie Lebesgue'a podzbiorów tego przedziału, zaś \scriptstyle \mathbb P jest miarą Lebesgue'a \scriptstyle \lambda określoną na tym σ-ciele, to przestrzeń probabilistyczna (\scriptstyle [0, 1], \mathfrak L_{[0, 1]}, \lambda\displaystyle) realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa – w ogólności modelem geometrycznym danego doświadczenia jest σ-ciało podzbiorów mierzalnych ustalonego zbioru skończonej miary pełniącego rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych; prawdopodobieństwem zdarzenia jest iloraz miary danego podzbioru przez miarę przestrzeni.

Niech \scriptstyle (\Omega, \mathcal F, \mathbb P) będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), a \scriptstyle X\colon \Omega \to \mathbb R będzie zmienną losową (tzn. rzeczywistą funkcją mierzalną). Jeżeli \scriptstyle \mathbb P_X jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową) \scriptstyle X, tj.

\mathbb P_X(A) = \mathbb P\bigl(X^{-1}(A)\bigr) \ \overset\underset\mathrm{ozn}\ =\ \mathbb P(X \in A) \quad\mbox{ dla dowolnego } A \in \mathfrak B_\mathbb R,

gdzie \scriptstyle \mathfrak B_\mathbb R oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na \scriptstyle \mathbb R, to \scriptstyle \mathbb P_X jest miarą probabilistyczną, wobec czego \scriptstyle (\mathbb R, \mathfrak B_\mathbb R, \mathbb P_X) również jest przestrzenią probabilistyczną.

Oprócz wymienionych wyżej do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.

Przypisy

  1. Niech \scriptstyle \Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_n\} oraz \scriptstyle \mathcal F = \mathcal P(\Omega), a ponadto wszystkie zdarzenia elementarne mają równe prawdopodobieństwo, czyli \scriptstyle p = \mathbb P(\omega_i) = \mathbb P(\omega_j) dla \scriptstyle i, j \leqslant n (są to „założenia” definicji klasycznej). Na podstawie II i III aksjomatu prawdopodobieństwa zachodzi ciąg równości
    \scriptstyle 1 = \mathbb P(\Omega) = \mathbb P\displaystyle(\scriptstyle\{\omega_1, \dots, \omega_n\}\displaystyle)\scriptstyle = \mathbb P\displaystyle(\scriptstyle\{\omega_1\} \cup \dots \cup \{\omega_n\}\displaystyle)\scriptstyle = \mathbb P\displaystyle(\scriptstyle\{\omega_1\}\displaystyle)\scriptstyle + \dots + \mathbb P\displaystyle(\scriptstyle\{\omega_n\}\displaystyle)\scriptstyle = np,
    skąd \scriptstyle p = 1/n. Analogicznie jak w przypadku zbioru \scriptstyle \Omega dowodzi się, że \scriptstyle \mathbb P(A) = mp, o ile \scriptstyle \#A = m; stąd wynika już, że \scriptstyle \mathbb P(A) = mp = m/n, czyli \scriptstyle \mathbb P(A) = \#A/\#\Omega.