Miara produktowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara produktowa – dla danych dwóch miar, miara określona na produktowej przestrzeni mierzalnej, która iloczynowi kartezjańskiemu zbiorów mierzalnych (należących do odpowiednich \sigma-algebr) przyporządkowuje iloczyn ich miar.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech (X_1, \mathcal{A}_1) oraz (X_2, \mathcal{A}_2) będą dwiema przestrzeniami mierzalnymi oraz niech \mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2 oznacza \sigma-algebrę w zbiorze X_1 \times X_2, generowaną przez zbiory postaci B_1 \times B_2, gdzie B_1 \in \mathcal{A}_1 oraz B_2 \in \mathcal{A}_2. Jeżeli miary \mu_1, \mu_2\sigma-skończone, to istnieje dokładnie jedna miara na \mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2, nazywana miarą produktową i oznaczana dalej symbolem \mu_1\times \mu_2, o tej własności, że

(\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1)\cdot \mu_2(B_2)

dla dowolnych B_i\in \mathcal{A}_i, gdzie i=1,2. Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób indukcyjnie rozszerzyć na dowolną skończoną liczbę miar.

Niech E\in \mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2. Odpowiednio, dolnym i górnym cięciem zbioru E wzdłuż x\in X_1 bądź y\in X_2 nazywa się zbiory:

E_x = \{y \in X_2\colon (x, y) \in E\},
E^y = \{x \in X_1\colon (x, y) \in E\}.

Funkcje:

X_1\ni x_1 \mapsto \mu_2(E_{x_1}),
X_2\ni x_2 \mapsto \mu_1(E^{x_2})

mierzalne (względem odpowiednio \mathcal{A}_1 i \mathcal{A}_2) oraz spełniona jest tzw. zasada Cavalieriego, która pozwala opisać miarę produktową wzorami:

(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E^y)\; \operatorname d\mu_2(y) = \int_{X_1} \mu_2(E_x)\; \operatorname d\mu_1(x),

Istnienie miary produktowej, nawet gdy któraś z miar \mu_1, \mu_2 nie jest \sigma-skończona, wynika z twierdzenia Hahna-Kołmogorowa.

Produkt dowolnej rodziny miar probabilistycznych[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób rozszerzyć na dowolną rodzinę miar probabilistycznych \{\mu_t\colon\, t\in T\} określonych odpowiednio na przestrzeniach mierzalnych (\Omega_t, \mathcal{A}_t),\, t\in T. Można udowodnić, że istnieje dokładnie jedna miara \mu określona na \sigma-ciele produktowym

\bigotimes_{t\in T}\mathcal{A}_t

o tej własności, że

\mu(\prod_{t\in T}A_t) =\prod_{t\in T}\mu_t(A_t),

dla dowolnej rodziny \{A_t\colon A_t\subseteq \Omega_t,\, t\in T\} o własności, że tylko skończona liczba zbiorów A_t jest różna od \Omega_t. Iloczyn po prawej stronie rozumie się więc tu jako iloczyn tylko skończenie wielu liczb nieujemnych.

Miara w kostce Cantora[edytuj | edytuj kod]

Niech \mu będzie miarą w zbiorze \{0,1\}, która zbiorom \{0\} i \{1\} przyporządkowuje wartość \tfrac{1}{2}. Jeżeli \kappa jest liczbą kardynalną, to miara Haara w kostce Cantora \{0,1\}^\kappa może być uzyskana jako miara produktowa \kappa kopii miary \mu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]