Miara produktowa

Miara produktowa – dla danych dwóch miar, miara określona na produktowej przestrzeni mierzalnej, która iloczynowi kartezjańskiemu zbiorów mierzalnych (należących do odpowiednich $\sigma$-algebr) przyporządkowuje iloczyn ich miar.

Twierdzenie

Niech $(X_1, \mathcal{A}_1)$ oraz $(X_2, \mathcal{A}_2)$ będą dwiema przestrzeniami mierzalnymi oraz niech $\mathcal{A}_1 \otimes \mathcal{A}_2$ oznacza $\sigma$-algebrę w zbiorze $X_1 \times X_2$, generowaną przez zbiory postaci $B_1 \times B_2$, gdzie $B_1 \in \mathcal{A}_1$ oraz $B_2 \in \mathcal{A}_2$. Jeżeli miary $\mu_1, \mu_2$ są $\sigma$-skończone, to istnieje dokładnie jedna miara na $\mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2$, nazywana miarą produktową i oznaczana dalej symbolem $\mu_1\times \mu_2$, o tej własności, że

$(\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1)\cdot \mu_2(B_2)$

dla dowolnych $B_i\in \mathcal{A}_i$, gdzie $i=1,2$. Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób indukcyjnie rozszerzyć na dowolną skończoną liczbę miar.

Niech $E\in \mathcal{A}_1\otimes\mathcal{A}_2$. Odpowiednio, dolnym i górnym cięciem zbioru $E$ wzdłuż $x\in X_1$ bądź $y\in X_2$ nazywa się zbiory:

$E_x = \{y \in X_2\colon (x, y) \in E\}$,

$E^y = \{x \in X_1\colon (x, y) \in E\}$.

Funkcje:

$X_1\ni x_1 \mapsto \mu_2(E_{x_1})$,

$X_2\ni x_2 \mapsto \mu_1(E^{x_2})$

są mierzalne (względem odpowiednio $\mathcal{A}_1$ i $\mathcal{A}_2$) oraz spełniona jest tzw. zasada Cavalieriego, która pozwala opisać miarę produktową wzorami:

$(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E^y)\; \operatorname d\mu_2(y) = \int_{X_1} \mu_2(E_x)\; \operatorname d\mu_1(x),$

Istnienie miary produktowej, nawet gdy któraś z miar $\mu_1, \mu_2$ nie jest $\sigma$-skończona, wynika z twierdzenia Hahna-Kołmogorowa.

Produkt dowolnej rodziny miar probabilistycznych

Pojęcie miary produktowej można w naturalny sposób rozszerzyć na dowolną rodzinę miar probabilistycznych $\{\mu_t\colon\, t\in T\}$ określonych odpowiednio na przestrzeniach mierzalnych $(\Omega_t, \mathcal{A}_t),\, t\in T$. Można udowodnić, że istnieje dokładnie jedna miara $\mu$ określona na $\sigma$-ciele produktowym

$\bigotimes_{t\in T}\mathcal{A}_t$

o tej własności, że

$\mu(\prod_{t\in T}A_t) =\prod_{t\in T}\mu_t(A_t)$,

dla dowolnej rodziny $\{A_t\colon A_t\subseteq \Omega_t,\, t\in T\}$ o własności, że tylko skończona liczba zbiorów $A_t$ jest różna od $\Omega_t$. Iloczyn po prawej stronie rozumie się więc tu jako iloczyn tylko skończenie wielu liczb nieujemnych.

Miara w kostce Cantora

Niech $\mu$ będzie miarą w zbiorze $\{0,1\}$, która zbiorom $\{0\}$ i $\{1\}$ przyporządkowuje wartość $\tfrac{1}{2}$. Jeżeli $\kappa$ jest liczbą kardynalną, to miara Haara w kostce Cantora $\{0,1\}^\kappa$ może być uzyskana jako miara produktowa $\kappa$ kopii miary $\mu$.

Zobacz też

• niezależność zmiennych losowych
• twierdzenie Fubiniego

Bibliografia

• 8.2. Product measures and iterated integrals. W: Michel Loève: Probability Theory vol. I. Wyd. IV. Springer, 1977, s. 135–137. ISBN 0387902104.
• 35. Product measures. W: Paul Halmos: Measure theory. Springer, 1974, s. 143–145. ISBN 0387900888.
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 140-147.