Miara regularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara regularna – w matematyce miara określona na przestrzeni topologicznej dla której każdy zbiór mierzalny jest „niemal otwarty” i „niemal domknięty”.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną, zaś \mathfrak M oznacza σ-algebrę określoną na X, która zawiera topologię \tau (tak więc w ten sposób wszystkie zbiory otwarte i domkniętemierzalne, czyli dana σ-algebra jest co najmniej tak bogata jak σ-algebra borelowska). Niech \mu będzie miarą na (X, \mathfrak M). Podzbiór mierzalny A przestrzeni X jest \mu-regularny, jeśli

\mu(A) = \sup\{\mu(F)\colon F \subseteq A, F \mbox{ - domkniety}\}

oraz

\mu(A) = \inf\{\mu(G)\colon G \supseteq A, G \mbox{ - otwarty}\}.

Równoważnie A jest zbiorem \mu-regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \delta > 0 istnieją zbiory domknięty F i otwarty G takie, że

F \subseteq A \subseteq G

przy czym

\mu(G \setminus F) < \delta.

Jeżeli każdy zbiór mierzalny jest regularny, to miarę \mu nazywa się regularną.

Niektórzy autorzy wymagają, by zbiór F był zwarty (a nie tylko domknięty)[1].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

\mu(\varnothing) = 0,
\mu\bigl(\{1\}\bigr) = 0

oraz \mu(A) = \infty dla jakiegokolwiek innego zbioru A.

Przypisy

  1. Dudley 1989, rozdział 7.1

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9.
  • Kalyanapuram R. Parthasarathy: Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005. MR2169627. ISBN 0-8218-3889-X. (zob. rozdział 2)
  • Richard M. Dudley: Real Analysis and Probability. Chapman & Hall, 1989.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]