Miara wewnętrznie regularna

Miara wewnętrznie regularna – miara, dla której miara zbioru może być przybliżana od dołu przez podzbiory zwarte.

Definicja formalna

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a ${\mathfrak {M}}$ σ-algebrą na $X$ zawierającą topologię $\tau$ (tak, że każdy zbiór otwarty jest zarazem mierzalny, a ${\mathfrak {M}}$ jest co najmniej tak silna, jak σ-algebra borelowska na $X$). Miarę $\mu$ określoną na przestrzeni mierzalnej $(X,{\mathfrak {M}})$ nazywa się wewnętrznie regularną, jeżeli dla każdego zbioru $A\in {\mathfrak {M}}$ zachodzi

$\mu (A)=\sup\{\mu (K)\colon {\mbox{zwarty }}K\subseteq A\}.$

Własność tę określa się czasami słownie jako „przybliżanie od dołu przez zbiory zwarte”.

Niektórzy autorzy używają terminu „ciasna (jędrna)” jako synonimu dla „wewnętrznie regularna”. Nazwa ta jest blisko związana z jędrnością rodziny miar, ponieważ miara $\mu$ jest wewnętrznie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje pewny podzbiór zwarty $K\subseteq X$ taki, że $\mu (X\setminus K)<\varepsilon .$ Jest to dokładnie warunek na to, aby jednoelementowa rodzina miar $\{\mu \}$ była jędrna.

Zobacz też

• miara Radona
• miara regularna
• miara wewnętrzna