Miary wzajemnie osobliwe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miary wzajemnie osobliwe – w matematyce dwie miary dodatnie (bądź ze znakiem albo zespolone), które są skupione na rozłącznych podzbiorach przestrzeni. Dla przestrzeni euklidesowych zwyczajowo miarę nazywa się osobliwą, jeżeli miara ta i miara Lebesgue'a są wzajemnie osobliwe.

Rozszerzona wersja twierdzenia Lebesgue'a o rozkładzie stanowi o rozkładzie miary osobliwej na miarę osobliwie ciągłą i miarę dyskretną.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Ilustracja miar wzajemnie osobliwych.

Miary \mu oraz \nu określone na przestrzeni mierzalnej (X, \mathfrak M) nazywa się wzajemnie osobliwymi bądź krótko osobliwymi, jeśli istnieją dwa rozłączne podziory A i B należące do \mathfrak M, które sumują się do X, takie że \mu zeruje się na wszystkich mierzalnych podzbiorach B, podczas gdy \nu zeruje się na wszystkich podzbiorach mierzalnych A. Fakt ten oznacza się wzorem \mu \perp \nu.

Ponieważ A jest nośnikiem \mu, zaś B jest nośnikiem \nu, to powyższą definicję można wyrazić równoważnie w następujący sposób: miary \mu i \nuwzajemnie osobliwe, jeżeli mają one rozłączne nośniki obejmujące w sumie całą przestrzeń X.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Miara osobliwa

Funkcja delta Diraca jest miarą osobliwą.

Miary dyskretna

Pochodną dystrybucyjną funkcji skokowej Heaviside'a na prostej,

H(x)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 1, & x \geqslant 0, \end{cases}

jest dystrybucja delta Diraca \delta_0, która jest miarą na prostej „punkt materialny” w 0. Jednakże miara Diraca \delta_0 nie jest bezwzględnie ciągła względem miary Lebesgue'a \lambda, ani \lambda nie jest bezwzględnie ciągła względem \delta_0. Otóż \lambda\bigl(\{0\}\bigr) = 0, lecz \delta_0\bigl(\{0\}\bigr) = 1; jeśli U jest dowolnym zbiorem otwartym niezawierającym 0, to \lambda(U) > 0, ale \delta_0(U) = 0.

Miara osobliwie ciągła

Rozkład Cantora ma ciągłą dystrybuantę (funkcję Cantora), która nie jest bezwzględnie ciągła i istotnie: jej częścią bezwzględnie ciągłą jest zero – jest ona osobliwie ciągła.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Ten artykuł zawiera materiał z artykułu singular measure na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.