Minimum i maksimum (funkcje)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Minimum i maksimum – inaczej odpowiednio element najmniejszy i największy danego zbioru uporządkowanego. Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).

Zbiory liczbowe[edytuj | edytuj kod]

Minimum i maksimum formalnie są funkcjami przypisującymi parze liczb rzeczywistych \mathbb{R} odpowiednio mniejszą (w przypadku minimum) i większą (w przypadku maksimum) z tych liczb. Dokładniej, dla x, y \in \mathbb{R} funkcje te dane są wzorami:

\min(x, y) = \begin{cases} y, & \mbox {gdy } x \geqslant y \\ x, & \mbox {gdy } y \geqslant x\end{cases}
\max(x, y) = \begin{cases} x, & \mbox {gdy } x \geqslant y \\ y, & \mbox {gdy } y \geqslant x\end{cases}

Okazuje się, że funkcje minimum i maksimum można zapisać jawnymi wzorami:

\min(x, y) = \frac{x + y - |x - y|}{2}
\max(x, y) = \frac{x + y + |x - y|}{2}.

Odwrotnie, wartość bezwzględną można wyrazić za pomocą funkcji maksimum i minimum:

|x| = \max(-x, x)\ = -\min(-x, x);.

Ponadto,

\max(x, y) = x + y - \min(x, y)\;
\min(x, y) = x + y - \max(x, y)\;.

Definicję te można łatwo uogólnić na funkcje skończenie wielu argumentów. Wystarczy zauważyć, że

\max(x, y, z) = \max(\max(x, y), z) = \max(x, \max(y, z))\;.

W ten sposób można zdefiniować rekurencyjnie np.

\max(x, y, z) = \max(\max(x, y), z)\;
\max(x, y, z, u) = \max(\max(x, y, z), u) =  \max(\max(x, y), \max(z, u))\; itp.

Podobnie ma się rzecz z funkcją \min. Przypadek zbiorów nieskończonych omówiony jest niżej.

W gruncie rzeczy porządek argumentów nie jest istotny, z tego względu funkcje \max, \min definiuje się jako funkcje zbiorów skracając ich zapis przez pominięcie nawiasów:

\max A, \min \{1, 3, 6\}\;.

Definicja ogólna[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego zbioru P z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy:

\min(P) = x \Leftrightarrow x\in P \and \forall_{p \in P}\; x \leqslant p
\max(P) = x \Leftrightarrow x\in P \and \forall_{p \in P}\; x \geqslant p

Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych już tak nie jest. Np. odcinki (przedziały) obustronnie otwarte (a, b) nie mają ani maksimum ani minimum.

Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto:

\min(P) = \inf(P)
\max(P) = \sup(P)

czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny, a nie istnieje maksimum.

Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu p dla p \to -\infty.

Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu p dla p dla p \to +\infty.

Działania[edytuj | edytuj kod]

Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny - jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.

Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]