Minor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Minorwyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie macierz

A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}

typu 3 \times 4 nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru I = \{1, 3\} oraz kolumn o indeksach ze zbioru J = \{1,4\} otrzymuje się minor równy

\begin{vmatrix} 1 & \Box & \Box & 2 \\ \Box & \Box & \Box & \Box \\ 7 & \Box & \Box & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 7 = 4 - 14 = -10.

Powyższy minor nie jest główny, ponieważ I \ne J. Minorem głównym macierzy A jest na przykład minor

\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 8

utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach 2 oraz 3.

Wiodącymi minorami głównymi macierzy A po kolei rosnącym porządku stopni:

\begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3, \quad \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 7 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -55.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla danej macierzy A typu m \times n minorem stopnia k, gdzie k \leqslant \min(m, n) nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k otrzymanej z macierzy A poprzez wykreślenie m-k wierszy i n-k kolumn.

Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów I wierszy o długości k oraz podciągu indeksów J kolumn o długości k z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego \{1, \dots, m\} \times \{1, \dots, n\}. Tak wybrany zbiór indeksów I = \{i_1, \dots, i_k\} \times \{j_1, \dots, j_k\} służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy A(I \times J).

Jeżeli I = J mają po k elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich k w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia k. Minor główny stopnia k, z którego wykreślono ostatnie m-k wierszy i n-k kolumn, a więc tak, by I = J = \{1, 2, \dots, k\}, nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia k.

Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

Niekiedy minory macierzy oznacza się: (A_i) , (A^a) , (A_iA_j) = -(A_jA_i) , (A^aA^b) = -(A^bA^a) , (A_iA_jA_k) , (A^aA^bA^c) , itd. , gdzie (A_i) są kolumnami, (A^a) wierszami macierzy (A^a_i) , a (A_iA_j) jest iloczynem mieszanym.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie 1, 1.
  • Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu r > 0 nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia r, zaś każdy minor stopnia wyższego od r tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
  • Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna) A jest
    • dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
    • ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
  • Dla danej macierzy m \times n można wybrać \tbinom{n}{k}\tbinom{m}{k} minorów stopnia k (gdzie \tbinom{\cdot}{\cdot} oznacza symbol Newtona).
  • Macierz typu m \times n ma \min(m, n) wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia n ma ich dokładnie n.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]