Miotełka Knastera-Kuratowskiego

Miotełka Knastera-Kuratowskiego

Miotełka Knastera-Kuratowskiego (lub miotełka Kuratowskiego) – przykład punktokształtnej spójnej przestrzeni topologicznej, która po usunięciu pewnego punktu jest (jako podprzestrzeń) dziedzicznie niespójna, ale nie całkowicie niespójna. Przestrzeń ta została skonstruowana w 1921 przez Kazimierza Kuratowskiego i Bronisława Knastera.

Konstrukcja

Niech $C$ będzie zbiorem Cantora zawartym w odcinku $[0,1]\times \{0\}\subset \mathbb {R} ^{2}$ oraz niech $p=\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right).$ Dla każdego punktu $c\in C$ niech $L(c)$ oznacza odcinek łączący punkt $p$ z punktem $c.$ Jeśli $c\in C$ jest końcem pewnego przedziału usuwanego podczas konstrukcji zbioru Cantora, to niech

$X_{c}=\{(x,y)\in L(c)\colon \,y\in \mathbb {Q} \},$

oraz

$X_{c}=\{(x,y)\in L(c)\colon y\notin \mathbb {Q} \}$

dla pozostałych punktów. Przestrzeń

$M=\bigcup _{c\in C}X_{c}$

nazywana jest miotełką Kuratowskiego. Przestrzeń $M$ jest spójna, ale $M\setminus \{p\}$ jest dziedzicznie niespójna.

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Teoria wymiaru. Warszawa: PWN, 1977, s. 37.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: PWN, 1976, s. 458.