Mnożenie przez skalar

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja mnożenia wektora przez skalar (w ciele charakterystyki różnej od 2).

Mnożenie przez skalar − jedno z działań dwuargumentowych definiujących przestrzeń liniową w algebrze liniowej (lub ogólniej: moduł w algebrze ogólnej). Mnożenia wektora przez skalar dającego w wyniku wektor nie należy mylić z iloczynem skalarnym (nazywanym niekiedy iloczynem wewnętrznym) dwóch wektorów dającym w wyniku skalar.

Intuicją geometryczną stojącą za tym działaniem jest mnożenie wektora rzeczywistej przestrzeni euklidesowej przez dodatnią liczbę rzeczywistą, które polega na pomnożeniu długości tego wektora przez tę liczbę. Słowo „skalar[1] urobiono od czynności: skalar służy do skalowania, czyli „rozciągania” czy „ściskania” (tzn. jednokładnościowego przekształcania wektorów o wartość bezwzględną skalara z zachowaniem zwrotu, tzn. porządku, gdy jest on dodatni i odwróceniu w przeciwnym przypadku). W ogólności jednak interpretacja ta może być zwodnicza, np. w ciałach skończonych, które nie są uporządkowane liniowo (przez brak porządku w ciele nie można mówić o „powiększaniu” lub „zmniejszaniu” długości wektorów).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobne artykuły: przestrzeń liniowaciało.

Niech \scriptstyle V będzie przestrzenią liniową nad ciałem \scriptstyle K; elementy przestrzeni nazywane będą wektorami (i oznaczane pismem pogrubionym), a elementy ciała nazywane będą skalarami (i oznaczane pismem pochyłym). Działanie mnożenia wektora z \scriptstyle V przez skalar z \scriptstyle K definiuje się jako funkcję \scriptstyle K \times V \to V, która przekształca parę skalar-wektor \scriptstyle (c, \mathbf v) w wektor \scriptstyle c \mathbf v zgodnie z poniższymi aksjomatami:

  • lewo- i prawostronna rozdzielność względem dodawania wektorów,
    (c + d) \mathbf v = c \mathbf{v +} d \mathbf v,
    c(\mathbf{v + w}) = c \mathbf{v +} c \mathbf w;
  • łączność,
    (cd) \mathbf v = c (d \mathbf v);
  • zgodność z elementem neutralnym \scriptstyle 1 mnożenia z ciała („zachowanie zwrotu”),
    1 \mathbf v = \mathbf v.

Własności, przykłady, uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Z powyższych aksjomatów wynikają m.in. następujące własności:

  • zgodność elementów neutralnych ciała \scriptstyle 0 i przestrzeni liniowej \scriptstyle \mathbf 0 (zob. wektor zerowy),
    0 \mathbf v = \mathbf 0
  • zgodność elementów przeciwnych przestrzeni liniowej i ciała („zmiana zwrotu”),
    (-1) \mathbf v = \mathbf{-v}.

W szczególnym przypadku za \scriptstyle V można wziąć samo \scriptstyle K i przyjąć jako mnożenie przez skalar mnożenie z ciała. Jeśli \scriptstyle V jest przestrzenią współrzędnych \scriptstyle K^n, to mnożenie przez skalar jest określone po współrzędnych. Macierze ustalonego typu tworzą przestrzeń liniową z ich dodawaniem i mnożeniem przez skalar, zob. mnożenie macierzy przez skalar. Jeśli \scriptstyle K oznacza ciało liczb zespolonych, to mnożenie przez skalar jest złożeniem jednokładności o współczynniku równym modułowi i obrotu wektora o kąt równy argumentowi tego skalara (zob. płaszczyzna zespolona).

W ogólności mnożenie przez skalar można postrzegać jako zewnętrzne działanie dwuargumentowe lub działanie ciała na przestrzeni liniowej. Wychodząc z tego punktu widzenia można uogólnić ideę skalowania: jeśli \scriptstyle K jest pierścieniem przemiennym; wówczas konstrukcję \scriptstyle V analogiczną do przestrzeni liniowej nazywa się modułem nad \scriptstyle K. Założenia dotyczące struktury na zbiorze skalarów można dalej osłabiać: \scriptstyle K może być półpierścieniem (przemiennym), lecz wtedy nie można mówić o elementach przeciwnych; jeśli \scriptstyle K jest strukturą nieprzemienną, to należy zwracać uwagę na kolejność mnożonych elementów.

Struktury algebraiczne, w których zdefiniowano pewien rodzaj mnożenia przez skalar, to m.in. algebry nad ciałem, algebry nad pierścieniem, pierścienie grupowe, czy algebry grupowe (tj. przestrzenie liniowe i moduły wolne z mnożeniem elementów; być może przemiennym). Wiele z powyższych przypadków obejmuje pojęcie grupy z operatorami

Przypisy

  1. łac. scalar, od późnołac. scala, „schody, drabina”, od łac. scalae, l.mn. „schody, szczeble, drabina”; spokr. z łac. scandere, „wspinać się” i dalej ze średnioirl. sceinnid, „wyskakuje” oraz sans. skandati, „skacze”