Model ARCH

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Model ARCH (skrót od ang. Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity model, pol. model autoregresji z heteroskedastycznością warunkową) – model ekonometryczny służący do analizy szeregów czasowych. Stosuje się go głównie w analizie finansowej zmienności cen instrumentów finansowych.

W modelu ARCH zakłada się, że wariancja błędu losowego w danym okresie jest funkcją wartości błędów losowych w okresach poprzednich.

Model ARCH został po raz pierwszy zaproponowany w 1982 roku przez amerykańskiego ekonomistę, Roberta Engle, za co został on uhonorowany w 2003 roku Nagrodą Nobla w dziedzinie ekonomii.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Model ARCH rzędu p, co zapisuje się zazwyczaj jako ARCH(p), zdefiniowany został przez Engle'a przy pomocy następujących dwóch zależności:

  1.  y_t | \psi_{t-1} \sim ~N(0,h_t)
  2.  ~h_t = h(y_{t-1}, y_{t-2}, ..., y_{t-p}, \alpha)~

Z równań tych wynika, że zmienna losowa  y_t ma wartość oczekiwaną równą zero, oraz wariancję, która zależy od realizacji zmiennych losowych y w p poprzednich okresach. We współczesnych zastosowaniach najczęściej zakłada się, że funkcja  ~h_t = h(y_{t-1}, y_{t-2}, ..., y_{t-p}, \alpha)~ ma postać:

 h_t=\alpha_0+\alpha_1 y_{t-1}^2+\cdots+\alpha_p y_{t-p}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^p \alpha_{i} y_{t-i}^2 gdzie  ~\alpha_0>0~ oraz  \alpha_i\geqslant 0,~i>0.

Przykładowo model ARCH(1) można zapisać jako:

  1.  y_t = \epsilon_t h_{t-1}^{1/2}
  2.  h_t = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2 gdzie  ~\epsilon_t \sim N(0,1)~

Model GARCH[edytuj | edytuj kod]

Model ARCH można uogólnić na model GARCH (skrót od ang. Generalized Auto-Regressive Conditional Heteroskedasticity model, uogólniony ARCH), w którym dodatkowo wprowadza się bezpośrednią zależność od poprzednich wartości h_t. Model GARCH(p,q) opisuje się szeregiem

 h_t = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} y_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^p \beta_{i} h_{t-i} gdzie  ~\alpha_0>0~ i  \alpha_i\geqslant 0,~i>0, oraz  ~\beta_i\geqslant0~

(niektóre źródła definiują model i stosują konwencję ze zamienionych miejscami indeksami p i q)

Czasami znosi się ograniczenie na współczynniki \beta_i, ale wprowadza to problem w postaci możliwych ujemnej wartości h_t, co nie jest w pełni sensowne.

W 1986 roku Bollerslev opublikował artykuł, w którym wprowadził uogólniony model ARCH (generalized ARCH, GARCH), wzorując się na relacji między modelami AR i ARMA. Okazało się, że model ten stał się bardziej przydatny w praktyce niż wcześniejszy ARCH na skutek tego, iż: procesy finansowe wymagają dużych rzędów opóźnień dla prawidłowego modelowania; estymacja parametrów modelu ARCH prowadziła do załamania założeń o nieujemności wariancji warunkowej; model GARCH lepiej niż ARCH dostosowuje się do opisu rozkładów o grubych ogonach.

Najczęściej, model GARCH stosuje się wtedy, gdy liczba opóźnień w modelu ARCH jest zbyt duża, a także wówczas, gdy kryteria doboru modeli (np. Schwarza), wskazują na przewagę modelu GARCH nad ARCH.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Robert F. Engle. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. „Econometrica”. 50 (4), s. 987–1007, 1982.