Model Debye'a ciała stałego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Model Debye'a – model ciała stałego używany w termodynamice i fizyce ciała stałego, wprowadzony przez Petera Debyea w 1912 r., pozwalający wyznaczyć ciepło właściwe w zależności od temperatury.

Założenia modelu[edytuj | edytuj kod]

Model rozpatruje ciało stałe jako izotropowy ośrodek sprężysty, w którym mogą rozchodzić się fale o długości fali większej od podwójnej odległości między atomami sieci krystalicznej. Oznacza to, że w ciele stałym o N atomach liczba drgań własnych sieci jest równa 3N, a drgania sieci nie mogą mieć częstości większej od częstości maksymalnej (częstości Debye'a), która wynika z minimalnej długości fali jaka może propagować się w ciele.

W modelu tym przyjmuje się, że drgania atomów w sieci krystalicznej można uważać za harmoniczne. Dlatego można ją przybliżyć układem oscylatorów kwantowych. W modelu Debye'a rozkład częstości oscylatorów dany jest przez zależność:

g(\omega) = \left\{ 

\begin{matrix} 
\frac{3 V}{2 \pi^2 v_0^3} \omega^2  &  \omega \le  \omega_D\\ 
0 & \omega >  \omega_D 
\end{matrix}

\right.

gdzie:

\omega_D = v_0 \left(\frac {6}{\pi} \frac {N}{V} \right)^{\frac{1}{3}} częstość Debye'a,
V - objętość ciała,
N - liczba atomów w ciele,
 v_0 - uśredniona prędkość dźwięku w ciele stałym.

Energia wewnętrzna w statystyce kwantowej to:

U = \int\limits_0^{\omega_D} {g(\omega)} \frac{\hbar \omega} {e^{\frac{\hbar \omega}{k T}} -1} \;d{\omega} dla każdej polaryzacji

gdzie:

k - stała Boltzmanna
\hbar - stała Plancka podzielona przez 2π

a ciepło właściwe:

c_V = \frac{1}{N} {\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right) }_{N,V}

więc:

c_V = 9 k \left(\frac{T}{T_D}\right)^{3} \int\limits_0^{\frac{T_D}{T}} { \frac{x^4 e^x}{{(e^x - 1)}^2} } \;dx

gdzie: T_D = \frac{\hbar \omega_D} {k} temperatura Debye'a

Granica dużych temperatur[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli T \gg T_D   to:   c_V \to 3k \frac{}{}prawo Dulonga-Petita

(k = {R}/{N_A} , gdzie: R - stała gazowa, NA - stała Avogadra)

Granica małych temperatur[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli T \ll T_D   to:   c_V \to \frac{12}{5} \pi^4 k \left(\frac{T}{T_D} \right)^3

c_V \thicksim {T}^3 prawo Debye'a

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Model Debye'a zakłada, że w sieci krystalicznej propagują się fale tak jak w innych ośrodkach. Jednak istnienie obcięcia dla pewnej częstości \omega_D związane jest z tym, że fale o długościach porównywalnych i mniejszych niż długość stałej sieci nie mogą się propagować w ciele stałym.

Był to historycznie drugi model (pierwszym był model Einsteina), który opisuje spadek ciepła właściwego z temperaturą, oraz pierwszy, który tłumaczy charakterystykę.

Do dziś jest to jeden z najlepszych modeli ciała stałego.

Tabela temperatur Debye'a[edytuj | edytuj kod]

aluminum 426 K
kadm 186 K
chrom 610 K
miedź 344,5 K
złoto 165 K
\alpha-Żelazo 464 K
ołów 96 K
\alpha-Mangnez 476 K
nikiel 440 K
platyna 240 K
krzem 640 K
srebro 225 K
cyna (biała, β) 195 K
tytan 420 K
wolfram 405 K
cynk 300 K
diament 2200 K
lód 192 K

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]