Model Debye'a ciała stałego

Model Debye'a – model ciała stałego używany w termodynamice i fizyce ciała stałego, wprowadzony przez Petera Debyea w 1912 r., pozwalający wyznaczyć ciepło właściwe w zależności od temperatury.

Założenia modelu

Model rozpatruje ciało stałe jako izotropowy ośrodek sprężysty, w którym mogą rozchodzić się fale o długości fali większej od podwójnej odległości między atomami sieci krystalicznej. Oznacza to, że w ciele stałym o N atomach liczba drgań własnych sieci jest równa 3N, a drgania sieci nie mogą mieć częstości większej od częstości maksymalnej (częstości Debye'a), która wynika z minimalnej długości fali jaka może propagować się w ciele.

W modelu tym przyjmuje się, że drgania atomów w sieci krystalicznej można uważać za harmoniczne. Dlatego można ją przybliżyć układem oscylatorów kwantowych. W modelu Debye'a rozkład częstości oscylatorów dany jest przez zależność:

$g(\omega) = \left\{ \begin{matrix} \frac{3 V}{2 \pi^2 v_0^3} \omega^2 & \omega \le \omega_D\\ 0 & \omega > \omega_D \end{matrix} \right.$

gdzie:

$\omega_D = v_0 \left(\frac {6}{\pi} \frac {N}{V} \right)^{\frac{1}{3}}$ częstość Debye'a,

V - objętość ciała,

N - liczba atomów w ciele,

$v_0$ - uśredniona prędkość dźwięku w ciele stałym.

Energia wewnętrzna w statystyce kwantowej to:

$U = \int\limits_0^{\omega_D} {g(\omega)} \frac{\hbar \omega} {e^{\frac{\hbar \omega}{k T}} -1} \;d{\omega}$ dla każdej polaryzacji

gdzie:

k - stała Boltzmanna

$\hbar$ - stała Plancka podzielona przez 2π

a ciepło właściwe:

$c_V = \frac{1}{N} {\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right) }_{N,V}$

więc:

$c_V = 9 k \left(\frac{T}{T_D}\right)^{3} \int\limits_0^{\frac{T_D}{T}} { \frac{x^4 e^x}{{(e^x - 1)}^2} } \;dx$

gdzie: $T_D = \frac{\hbar \omega_D} {k}$ temperatura Debye'a

Granica dużych temperatur

Jeżeli $T \gg T_D$   to:   $c_V \to 3k \frac{}{}$ → prawo Dulonga-Petita

($k = {R}/{N_A}$, gdzie: R - stała gazowa, N_A - stała Avogadra)

Granica małych temperatur

Jeżeli $T \ll T_D$   to:   $c_V \to \frac{12}{5} \pi^4 k \left(\frac{T}{T_D} \right)^3$

$c_V \thicksim {T}^3$ prawo Debye'a

Wnioski

Model Debye'a zakłada, że w sieci krystalicznej propagują się fale tak jak w innych ośrodkach. Jednak istnienie obcięcia dla pewnej częstości $\omega_D$ związane jest z tym, że fale o długościach porównywalnych i mniejszych niż długość stałej sieci nie mogą się propagować w ciele stałym.

Był to historycznie drugi model (pierwszym był model Einsteina), który opisuje spadek ciepła właściwego z temperaturą, oraz pierwszy, który tłumaczy charakterystykę.

Do dziś jest to jeden z najlepszych modeli ciała stałego.

Tabela temperatur Debye'a

aluminum 426 K kadm 186 K chrom 610 K miedź 344,5 K złoto 165 K $\alpha$-Żelazo 464 K ołów 96 K $\alpha$-Mangnez 476 K nikiel 440 K

platyna 240 K krzem 640 K srebro 225 K cyna (biała, β) 195 K tytan 420 K wolfram 405 K cynk 300 K diament 2200 K lód 192 K

Zobacz też

• ciepło właściwe