Model MA

Model MA czyli model ze średnią ruchomą (ang. moving average model, MA model) - to parametryczny model szeregu czasowego (pewna realizacja procesu losowego), często stosowany w analizie szeregów czasowych z jedną zmienną. Notacja $MA(q)$ odnosi się do modelu MA rzędu $q$:

$X_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q \varepsilon_{t-q} \,$

co można zapisać też:

$X_t = \mu + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}\,$

gdzie $\mu\,$ (często przyjmuje się, że równa się ona zero) jest średnią szeregu czasowego czyli wartością oczekiwaną $X_t\,$,

$\theta_{1}, ..., \theta_{q}\,$ to parametry modelu,

$\varepsilon_{t},\varepsilon_{t-1}\, ,...$ to wyrażenia odpowiadające błędowi szumu białego.

Wartość q nazywana jest rzędem modelu MA.

Pojęciowo model MA jest regresją liniową bieżącej wartości szeregów w odniesieniu do poprzednich (niezaobserwowanych) czynników błędu, związanych z białym szumem, lub przypadkowych zaburzeń. Zakłada się, że takie przypadkowe zaburzenia w każdym z punktów, pochodzą z tego samego rozkładu, zwykle rozkładu normalnego z umiejscowieniem w zerze i stałą skalą. Charakterystyczna dla tego modelu jest propagacja losowych zaburzeń do przyszłych wartości szeregów czasowych. Dopasowywanie estymat w tym modelu zachodzi w znacznie bardziej skomplikowany sposób niż w modelach AR czyli modelach autoregresyjnych ponieważ wyrażenia związane z błędem są nieobserwowalne. Oznacza to, że muszą być stosowane nieliniowe, iteracyjne procedury dopasowania zamiast liniowych procedur najmniejszych kwadratów. Interpretacja modeli MA jest mniej oczywista niż w przypadku modeli AR.

Niekiedy funkcja autokorelacji i funkcja częściowej autokorelacji sugeruje , że model MA byłby bardziej odpowiedni a czasami zarówno wyrażenie odpowiadające modelowi AR jak i modelowi MA powinno być użyte w tym samym modelu.

Jednak wyrażenia związane z błędem po dopasowaniu modelu powinny być niezależne i powinny spełniać standardowe założenia dla procesów z jedną zmienną: losowe wykresy z ustalonego rozkładu z rozkładem posiadającym ustaloną lokalizację i z dystrybucją posiadającą stałą zmienność.

Model MA jest zasadniczo filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej, na który nałożono pewną dodatkową interpretację.

Model MA i model AR są dualne (względem siebie) - każdy proces opisany modelem AR o skończonym rzędzie można opisać modelem MA o nieskończonym rzędzie (i odwrotnie).

Zobacz też

• model AR