Model statystyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Model ekonometryczny)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Model statystycznyhipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub układu równań), który przedstawia zasadnicze powiązania występujące pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami rzeczywistymi.

Bardziej formalnie jest to parametryzowana rodzina rozkładów łącznych rozważanych zmiennych, stąd druga nazwa przestrzeń statystyczna.

Modele statystyczne używane w ekonometrii noszą nazwę modeli ekonometrycznych.

Formalna definicja matematyczna[edytuj | edytuj kod]

Niech

\mathcal{P}=\{P_\theta \colon \theta \in \Theta\}

będzie rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby \mathcal{X}, indeksowaną parametrem \theta (w szczególności może to być wektor parametrów rzeczywistych). P_\theta opisuje wielowymiarowy łączny rozkład wszystkich obserwacji w próbie X.

Formalnie model statystyczny to para:

(\mathcal{X},\{P_\theta \colon \theta \in \Theta\})

Niech próba opisywana przez rozkład P_\theta będzie wektorem X=(X_1,X_2,\dots,X_n) niezależnych zmiennych losowych z których każda ma rozkład P_\theta^\prime a jej zbiorem wartości jest \mathcal{X}^\prime. X nazywany jest n-elementową próbą z rozkładu P_\theta^\prime.

W takim przypadku stosowany jest również zapis

(\mathcal{X}^\prime,\{P_\theta^\prime \colon \theta \in \Theta\})^n

W praktycznych zastosowaniach podaje się po prostu warunek, jaki spełniają rozkłady z rodziny \mathcal{P}. Zmienne losowe występujące w tym warunku determinują przestrzeń próby \mathcal{X}, a parametry tworzą wektor \theta.

Model nieparametryczny[edytuj | edytuj kod]

Model nieparametryczny to model w którym nie istnieje skończenie wymiarowa parametryzacja rodziny rozkładów, czyli nie da się go zapisać w takiej postaci, że

\Theta\subseteq \mathbb{R}^k, k\in\mathbb{N}

Nie oznacza to braku jakiejkolwiek parametryzacji – to byłoby sprzeczne z definicją modelu statystycznego – np. \Theta może być rodziną dystrybuant.

Model identyfikowalny[edytuj | edytuj kod]

Jeśli zachodzi:

\theta_1 \ne \theta_2 \Rightarrow P_{\theta_1}\ne P_{\theta_2}

to model nazywany jest identyfikowalnym. Oznacza to, że parametr \theta jest jednoznacznie wyznaczony przez rozkład P_\theta.

Modele liniowe[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać liniowego modelu o G równaniach łącznie współzależnych i tylu zmiennych endogenicznych (objaśnianych) oraz K dodatkowych zmiennych egzogenicznych (objaśniających) przy liczbie t obserwacji:

Y_{1t}=\alpha_{10}+\alpha_{11}X_{1t}+\alpha_{12}X_{2t}+...+\alpha_{1K}X_{Kt}+\beta_{12}Y_{2t}+\beta_{13}Y_{3t}+...+\beta_{1G}Y_{Gt}+\xi_{1t}

Y_{2t}=\alpha_{20}+\alpha_{21}X_{1t}+\alpha_{22}X_{2t}+...+\alpha_{2K}X_{Kt}+\beta_{21}Y_{1t}+\beta_{23}Y_{3t}+...+\beta_{2G}Y_{Gt}+\xi_{2t}

.....................................................................................................................

Y_{Gt}=\alpha_{G0}+\alpha_{G1}X_{1t}+\alpha_{G2}X_{2t}+...+\alpha_{GK}X_{Kt}+\beta_{G1}Y_{1t}+\beta_{G2}Y_{2t}+...+\beta_{G G-1}Y_{G-1 t}+\xi_{Gt}

Linia trendu[edytuj | edytuj kod]

Najprostszym modelem stosowanym w prognozie jest linia trendu, w której zakładamy następującą zależność między zmienną objaśniającą t (oznaczającą czas) a zmienną objaśnianą Y:

Y=at+b+\varepsilon

gdzie:

Modele nieliniowe[edytuj | edytuj kod]

Przykładowym równaniem nieliniowym może być znany w ekonomii model (typu) Cobba-Douglasa.

Systematyka[edytuj | edytuj kod]

Modele statystyczne dzielą się m.in. na:

  • jedno- i wielorównaniowe (z więcej niż jedną zmienną endogeniczną)
  • przyczynowo-skutkowe i symptomatyczne
  • statyczne i dynamiczne (autoregresyjne, trendu)
  • proste, rekurencyjne i o równaniach łącznie współzależnych.
  • liniowe i nieliniowe
  • klasyczne i bayesowskie

Można wyróżnić następujące typy modeli:

  • modele klasy ARMA (auto-regression with moving average) i ARIMA (auto-regression integrated with moving average)
  • modele korekty błędem (ECM – error correction model)
  • VAR (modele wektorowej autoregresji) i modyfikacje
    • VAR (vector auto-regression)
    • VARMA (vector autoregression with moving average)
    • VEC (vector error correction)
  • modele panelowe
  • Modele równowagi ogólnej
    • CGE (computable general equilibrium)
    • DCGE (dynamic computable general equilibrium)

Metody doboru zmiennych i postaci modelu[edytuj | edytuj kod]

Powyższe metody wykorzystywane przy specyfikacji modeli ekonometrycznych są kontrowersyjne a ich naukowość jest kwestionowana.

W praktyce przy doborze zmiennych objaśniających należy kierować się na wstępie zdrowym rozsądkiem i teorią dotyczącą badanego zagadnienia.

Dobór zmiennych zależy również od jakości oszacowania modelu przy danych zmiennych (wykazany brak spełnienia założeń użytej metody estymacji, takie jak dla KMNK heteroskedastyczność, autoregresyjność czy brak rozkładu normalnego reszt, wskazuje na konieczność użycia innego zestawu zmiennych objaśniających). W ten sposób budowa finalnego modelu ma charakter iteracyjny.

Specyficznym przypadkiem są modele trendu, których postać ustalana jest w sposób najbardziej techniczny, w oparciu o parametry dopasowania modelu oraz tak zwane kryteria informacyjne (najbardziej znane z nich: Akaike i Schwarza).

Metody estymacji parametrów modelu[edytuj | edytuj kod]

Do estymacji parametrów modelu często stosowane są metody regresji statystycznej.

Wiki letter w.svg Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Badanie jakości modelu regresyjnego[edytuj | edytuj kod]

W celu oceny jakości modelu stosuje się rozmaite testy statystyczne badające jego własności. Dobór testów powinien zależeć od przewidywanego zastosowania modelu (najczęstsze to wyjaśnianie oraz prognozowanie).

Najczęstszym zadaniem testów jest sprawdzenie spełnienia założeń przyjętych w użytej metodzie estymacji (najczęściej dotyczą one rozkładu błędów losowych). Inne testy mają za zadanie ocenę stabilności czy dopasowania modelu.

W szczególności, można wyróżnić następujące własności modelu najczęściej badane za pomocą testów statystycznych:

  • rozkład błędów losowych
    • autokorelacja
    • homoskedastyczność
    • niezależność
  • dopasowanie
  • postać modelu (np. liniowa)
  • jakość prognoz
  • stabilność

Mierniki dopasowania[edytuj | edytuj kod]

Współczynnik determinacji[edytuj | edytuj kod]

R^2  = {{\sum\limits_{t = 1}^n {\left( {\hat y_t - \overline y } \right)^2 } } \over {\sum\limits_{t = 1}^n {\left( {y_t - \overline y } \right)^2 } }},

gdzie:

y_t\, – wartość zmiennej Y w momencie t
\hat y_t – wartość teoretyczna zmiennej Y w momencie t
\overline y – wartość średnia zmiennej Y w szeregu czasowym

Współczynnik determinacji informuje o dopasowaniu liniowego modelu regresji do danych empirycznych. Przyjmuje wartości z przedziału [0;1] jeśli w modelu występuje wyraz wolny, a do estymacji parametrów wykorzystano metodę najmniejszych kwadratów. Im wartość bliższa jedności, tym lepsze dopasowanie.

Skorygowany współczynnik determinacji[edytuj | edytuj kod]

Kiedy wartość R^2 chce się wykorzystać do porównywania jakości kilku modeli, w których liczba zmiennych objaśniających jest różna, stosuje się skorygowany współczynnik determinacji:

\tilde R^2  = 1 - {{n - 1} \over {n - m - 1}}\left( {1 - R^2 } \right)

gdzie:

R^2\,współczynnik determinacji
n\, – liczba obserwacji
m\, – liczba zmiennych objaśniających (bez zmiennej przy wyrazie wolnym)

Odchylenie standardowe składnika resztowego[edytuj | edytuj kod]

Wartość odchylenia standardowego składnika resztowego informuje o przeciętnych odchyleniach wartości rzeczywistych zmiennej prognozowanej od teoretycznych. Im wartości mniejsze, tym lepszy model.

s = \sqrt {\left[ {{1 \over {n - m - 1}}\sum\limits_{t = 1}^n {\left( {y_t - \hat y_t} \right)^2 } } \right]}

gdzie:

n\, – liczba obserwacji
m\, – liczba zmiennych objaśniających (bez zmiennej przy wyrazie wolnym)
y_t\, – wartość zmiennej Y w momencie t
\hat y_t – wartość teoretyczna zmiennej Y w momencie t

Współczynnik zmienności[edytuj | edytuj kod]

V_e = {s \over {\overline y }} \cdot 100

gdzie:

s\,odchylenie standardowe składnika resztowego
\overline y\, – wartość średnia zmiennej Y w szeregu czasowym

Współczynnik zmienności informuje o tym, jaką część wartości średniej zmiennej objaśnianej stanowi odchylenie standardowe składnika resztowego. Im mniejsza wartość tego współczynnika, tym model jest lepszy.

Badanie istotności parametrów modelu[edytuj | edytuj kod]

Badanie istotności parametrów modelu jest próbą stwierdzenia istotności wpływu zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą. Zakładając, że składnik losowy ma rozkład normalny, należy zweryfikować hipotezę o istotności każdego parametru.

H_0 :\left[ {\alpha _i  = 0} \right]
H_1 :\left[ {\alpha _i \ne 0} \right]

gdzie:

\alpha_i\, – parametr przy i-tej zmiennej objaśniającej
H_0\,i-ta zmienna objaśniająca nieistotnie wpływa na zmienną objaśnianą i powinna być usunięta z modelu
H_1\,i-ta zmienna objaśniająca istotnie wpływa na zmienną objaśnianą

Aby sprawdzić prawdziwość hipotezy zerowej wyznacza się statystykę testową:

t_i  = {{a_i } \over {D\left( {a_i } \right)}},i = 0,1,...,m

gdzie:

a_i\, – ocena parametru przy i-tej zmiennej objaśniającej
D(a_i)\, – błąd oceny i-tego parametru (pierwiastek odpowiedniego elementu macierzy D^2 \left( a \right))

Wartość a_i wyznacza się ze wzoru:

a = (X^T X)^{ - 1} X^T y\,

gdzie:

X\,macierz zmiennych objaśniających
X^T\,transponowana macierz X
y\,wektor obserwacji zmiennej objaśnianej

Błąd D(a_i):

D^2 \left( a \right) = s^2 \left( {X^T X} \right)^{ - 1}

gdzie:

s^2\, – kwadrat odchylenia standardowego składnika resztowego

Następnie należy odczytać wartość krytyczną t_\alpha\, z tablic rozkładu t-Studenta dla zadanego z góry poziomu istotności \alpha i n-m-1 stopni swobody. Jeżeli

\left| {t_i } \right| > t_\alpha

to hipotezę zerową odrzuca się na rzecz alternatywnej. Jeśli jednak

\left| {t_i } \right| \le t_\alpha,

wtedy nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Wymienione powyżej metody badania jakości modelu są najczęściej stosowanymi.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004, s. 9. http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)
  • Maria Cieślak: Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowanie. s. 44-47.