Moduł ilorazowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Moduł ilorazowy – w algebrze abstrakcyjnej, gałęzi matematyki, struktura tworzona dla dowolnego modułu i jego podmodułu. Konstrukcja opisana niżej jest analogiczna do otrzymywania pierścienia liczb całkowitych modulo n (zobacz: arytmetyka modularna). W ten sam sposób powstają też grupa ilorazowa i pierścień ilorazowy.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie (lewostronny) moduł M nad pierścieniem R oraz podmoduł N tego modułu. Przestrzeń ilorazowa M/N zdefiniowana jest za pomocą następującej relacji równoważności:

m \sim n\; wtedy i tylko wtedy, gdy m - n \in N

dla dowolnych m, n \in M. Elementami M/N są klasy abstrakcji postaci

[m] = \{ m + n\colon n \in N \}.

Działanie dodawania w M/N określone jest dla dwóch klas równoważności jako klasa równoważności sumy dwóch reprezentantów tych klas; podobnie definiuje się iloczyn przez elementy z R. Tym sposobem przestrzeń ilorazowa M/N sama staje się modułem nad R nazywanym modułem ilorazowym. Symbolicznie:

[m] + [n] = [m + n] i
r[m] = [rm]

dla dowolnych m, n \in M oraz r \in R.

Dla modułu M i podmodułu N \subseteq M

Moduł ilorazowy to przestrzeń klas bstrakcji M/N działaniami określonymi powyżej.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie pierścień \mathbb R liczb rzeczywistych i \mathbb R-moduł A = \mathbb R[X], czyli pierścień wielomianów o rzeczywistych współczynnikach. Rozważmy podmoduł

B = (X^2 + 1) \mathbb R[X]

modułu A, to jest podmoduł wszystkich wielomianów podzielnych przez X^2 + 1. Okazuje się, że relacją równoważności określoną przez ten moduł jest

P(X) \sim Q(X) wtedy i tylko wtedy, gdy P(X) oraz Q(X) dają tę samą resztę z dzielenia przez X^2 + 1.

Dlatego w module ilorazowym A/B wielomian X^2 + 1 będzie tym samym co 0 i stąd może być on postrzegany jako otrzymany z \mathbb R[X] przez utożsamienie X^2 + 1 = 0. Moduł ilorazowy A/B jest izomorficzny z liczbami zespolonymi postrzeganymi jako moduł nad liczbami rzeczywistymi \mathbb R.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Moduł ilorazowy M/N jest obrazem homomorficznym modułu M przez homomorfizm o jądrze N dany wzorem
\pi:M \longrightarrow  M/N:m\mapsto m + N.

Odwzorowanie \pi jest nazywane projekcją modułu M na moduł ilorazowy M/N.

dla podmodułu N \subseteq Q \subseteq P zachodzi
(P/N) / (Q/N) \simeq P/Q.
  • Istnieje kanoniczna odpowiedniość pomiędzy klasą izomorfizmów monomorfizmów w M a klasą izomorfizmów epimorfizmów z M; monomorfizm I \colon N \to M odpowiada modułowi ilorazowemu M/i(N), a epimorfizm P \colon M \to Q odpowiada podmodułowi \ker P.
  • Jeżeli moduł jest skończenie generowany lub ma skończoną długość, to taki jest też jego dowolny moduł ilorazowy.
  • Jeżeli B jest A-algebrą (łączną, z jedynką), to
    B \otimes_A (M/N) \simeq (B \otimes_A M) / U,
gdzie U jest obrazem B \otimes_A N w B \otimes_A M.
  • Jeżeli I jest (obustronnym) ideałem w A, to moduł ilorazowy A/I jest tym samym co pierścień ilorazowy A/I.