Moduł ilorazowy

Moduł ilorazowy – w algebrze abstrakcyjnej, gałęzi matematyki, struktura tworzona dla dowolnego modułu i jego podmodułu. Konstrukcja opisana niżej jest analogiczna do otrzymywania pierścienia liczb całkowitych modulo n (zobacz: arytmetyka modularna). W ten sam sposób powstają też grupa ilorazowa i pierścień ilorazowy.

Definicja

Niech dany będzie (lewostronny) moduł $M$ nad pierścieniem $R$ oraz podmoduł $N$ tego modułu. Przestrzeń ilorazowa $M/N$ zdefiniowana jest za pomocą następującej relacji równoważności:

$m \sim n\;$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m - n \in N$

dla dowolnych $m, n \in M$. Elementami $M/N$ są klasy abstrakcji postaci

$[m] = \{ m + n\colon n \in N \}$.

Działanie dodawania w $M/N$ określone jest dla dwóch klas równoważności jako klasa równoważności sumy dwóch reprezentantów tych klas; podobnie definiuje się iloczyn przez elementy z $R$. Tym sposobem przestrzeń ilorazowa $M/N$ sama staje się modułem nad $R$ nazywanym modułem ilorazowym. Symbolicznie:

$[m] + [n] = [m + n]$ i

$r[m] = [rm]$

dla dowolnych $m, n \in M$ oraz $r \in R$.

Dla modułu $M$ i podmodułu $N \subseteq M$

Moduł ilorazowy to przestrzeń klas bstrakcji $M/N$ działaniami określonymi powyżej.

Przykłady

Niech dany będzie pierścień $\mathbb R$ liczb rzeczywistych i $\mathbb R$-moduł $A = \mathbb R[X]$, czyli pierścień wielomianów o rzeczywistych współczynnikach. Rozważmy podmoduł

$B = (X^2 + 1) \mathbb R[X]$

modułu $A$, to jest podmoduł wszystkich wielomianów podzielnych przez $X^2 + 1$. Okazuje się, że relacją równoważności określoną przez ten moduł jest

$P(X) \sim Q(X)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $P(X)$ oraz $Q(X)$ dają tę samą resztę z dzielenia przez $X^2 + 1$.

Dlatego w module ilorazowym $A/B$ wielomian $X^2 + 1$ będzie tym samym co $0$ i stąd może być on postrzegany jako otrzymany z $\mathbb R[X]$ przez utożsamienie $X^2 + 1 = 0$. Moduł ilorazowy $A/B$ jest izomorficzny z liczbami zespolonymi postrzeganymi jako moduł nad liczbami rzeczywistymi $\mathbb R$.

Własności

• Moduł ilorazowy $M/N$ jest obrazem homomorficznym modułu $M$ przez homomorfizm o jądrze $N$ dany wzorem

$\pi:M \longrightarrow M/N:m\mapsto m + N$.

Odwzorowanie $\pi$ jest nazywane projekcją modułu $M$ na moduł ilorazowy $M/N$.

• Twierdzenie o izomorfizmie: dla dwóch podmodułów $M, N$ modułu $Q$ prawdziwe jest

  $M / (M \cap N) \simeq (M + S) / N$.

dla podmodułu $N \subseteq Q \subseteq P$ zachodzi

$(P/N) / (Q/N) \simeq P/Q$.

• Istnieje kanoniczna odpowiedniość pomiędzy klasą izomorfizmów monomorfizmów w $M$ a klasą izomorfizmów epimorfizmów z $M$; monomorfizm $I \colon N \to M$ odpowiada modułowi ilorazowemu $M/i(N)$, a epimorfizm $P \colon M \to Q$ odpowiada podmodułowi $\ker P$.
• Jeżeli moduł jest skończenie generowany lub ma skończoną długość, to taki jest też jego dowolny moduł ilorazowy.
• Jeżeli $B$ jest $A$-algebrą (łączną, z jedynką), to

  $B \otimes_A (M/N) \simeq (B \otimes_A M) / U$,

gdzie $U$ jest obrazem $B \otimes_A N$ w $B \otimes_A M$.

• Jeżeli $I$ jest (obustronnym) ideałem w $A$, to moduł ilorazowy $A/I$ jest tym samym co pierścień ilorazowy $A/I$.