Moment pędu

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Moment pędu (kręt) – wielkość fizyczna opisująca ruch ciała, zwłaszcza jego ruch obrotowy.

W mechanice klasycznej

Zależności między siłą F, momentem siły τ, pędem p oraz momentem pędu L.

Mechanika klasyczna

$\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}$

II zasada dynamiki Newtona

Wprowadzenie Historia Aparat matematyczny Działy Statyka  · Dynamika  · Kinematyka  · Mechanika stosowana  · Mechanika nieba  · Mechanika ośrodków ciągłych  · Mechanika statystyczna Sformułowania Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange’a  · Formalizm Hamiltona Koncepcje podstawowe Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Współczynnik tłumienia · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa Znani uczeni Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Moment pędu punktu materialnego o pędzie p, którego położenie opisane jest wektorem wodzącym r względem danego układu odniesienia (wybranego punktu, zwykle początku układu współrzędnych), definiuje się jako wektor (pseudowektor) będący rezultatem iloczynu wektorowego wektora położenia i pędu

$\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p$

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że wartość bezwzględna momentu pędu jest równa

$L = |\mathbf r \times \mathbf p| = |\mathbf r| |\mathbf p| \sin \theta$

gdzie θ oznacza kąt między wektorami r i p.

Dla ciała o momencie bezwładności I obracającego się wokół ustalonej osi z prędkością kątową ω moment pędu można wyrazić wzorem

$\mathbf L = I\boldsymbol \omega$

Zachowanie momentu pędu

i-tą składową momentu pędu można wyrazić wzorem

$\mathbf{L^i} = (\mathbf r \times \mathbf p)^\mathbf i = \varepsilon_\mathbf {ijk} \mathbf{r^j} \mathbf{p^k} = m \varepsilon_\mathbf {ijk} \mathbf{r^j} \mathbf{v^k}$

gdzie ε_ijk jest symbolem Leviego-Civity; podobnie można przedstawić pozostałe składowe. W mechanice klasycznej komutują one (są antyprzemienne). Komutatorem jest nawias Poissona

$\left[\mathbf{L^i}, \mathbf{L^j}\right] = \varepsilon_\mathbf {ijk} \mathbf{L^k}$

Moment pędu jest stały, jeśli znika jego nawias Poissona; zasada zachowania momentu pędu jest konsekwencją symetrii obrotowej przestrzeni (zob. grupa obrotów), która zachowuje długość wektora (gdyż jest izometrią). Dzięki temu energia kinetyczna w hamiltonianie nie ulega zmianie. Stąd wynika, że potencjał U zależy wyłącznie od odległości r. Siłę związaną z tym potencjałem nazywa się siłą centralną. Dla tego rodzaju sił zachodzi

$\Big[U(\mathbf r), \mathbf L\Big] = 0$

co jest równoważne zasadzie zachowania momentu pędu.

Stały moment pędu wyznacza pewien stały kierunek w przestrzeni. Konsekwencją zasady zachowania momentu pędu jest to, że ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu. Tak np. potencjał grawitacyjny Newtona proporcjonalny od odwrotności odległości r ma symetrię sferyczną; wynika stąd prawo zachowania momentu pędu dla ruchu planet i ich ruch w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu nazywanej płaszczyzną ekliptyki.

W mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej operator momentu pędu definiuje się analogicznie do jak ma to miejsce w mechanice klasycznej

$\mathbf{L^i} = ( \mathbf r \times \mathbf{p} )^{\mathbf i} = \varepsilon_\mathbf {ijk} \mathbf{x^j} \mathbf{p^k}$

z zastrzeżeniem, że operator pędu dany jest jako

$\mathbf{p^i} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \mathbf{x^i}}$

Spełnia on takie same reguły komutacyjne jak w mechanice klasycznej, jednak nie dla nawiasu Poissona, a komutatora danego wzorem

$\left[\mathbf{L^i}, \mathbf{L^j}\right] = i\hbar \epsilon_\mathbf {ijk} \mathbf{L^k}$

Kwadrat operatora momentu pędu $\scriptstyle \mathbf L^2$ jest przemienny (jednocześnie mierzalny) ze wszystkimi składowymi operatora momentu pędu, tzn.

$\left[\mathbf{L^i}, \mathbf L^2\right] = 0$

Podobnie jak ma to miejsce w przypadku klasycznym, komutator składowej z hamiltonianem znika

$\left[\mathbf{L^j}, H\right] = 0$

gdy moment pędu jest zachowywany. Konsekwencją tej symetrii jest prawo zachowania momentu pędu i jednoczesna mierzalność energii, kwadratu momentu pędu L² i jednej z jego składowych (zwykle przyjmuje się układ współrzędnych walcowych i wybiera niezerową współrzędną). We współrzędnych sferycznych operator kwadratu momentu pędu L² ma postać:

$\mathbf L^2 = -\frac{\hbar^2}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) - \frac{\hbar^2}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$

zaś

$z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi}$

Równanie własne

$\left. L^2 | l, m \right\rangle = \left. \hbar^2 l(l + 1) | l, m \right\rangle$

$\left. z | l, m \right\rangle = \left. \hbar m | l, m \right\rangle$

daje wartości własne $\scriptstyle {\hbar}^2 l(l+1)$ i funkcję własne

$\lang \theta , \phi | l, m \rang = Y_{l, m}(\theta, \phi)$

jako harmoniki sferyczne.

Magnetyczna liczba kwantowa m przyjmuje $2l + 1$ z przedziału $[-l, l]$. Dla tych wartości widmo operatora L² jak również operatora energii H jest zdegenerowane, tzn. nie zależy od m – ta konsekwencja symetrii nazywana jest w mechanice kwantowej zdegenerowaniem widma operatora energii.

Zobacz też

• Orbitalny moment pędu światła