Multifunkcja

Rysunek przedstawia odwzorowanie wielowartościowe – elementowi 3 przyporządkowane są dwa elementy przeciwdziedziny.

Multifunkcja a. funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji.

Definicja

Niech $X$ i $Y$ będą niepustymi zbiorami. Multifunkcją $f$ między zbiorami $X$ i $Y$ nazywa się przyporządkowanie każdemu $x\in X$ niepustego zbioru $fx\subseteq Y$. Jeśli $f$ jest multifunkcją między $X$ i $Y$, to oznacza się to czasami symbolem

$f\colon X \rightsquigarrow Y$.

Dla multifunkcji definiuje się, analogicznie jak dla funkcji, pojęcia obrazu, wykresu, mutlifunkcji odwrotnej czy złożenia. Traktując multifunkcję $f$ jako funkcję $f\colon X\to \mathcal{P}(Y)$ pojęcia te nie pokrywają się ze swoimi klasycznymi odpowiednikami.

• Obrazem zbioru $A\subseteq X$ poprzez multifunkcję $f$ nazywa się zbiór

$f(A)=\bigcup_{x\in A}fx.$

• Wykresem multifunkcji $f$ nazywamy zbiór

$\mbox{Graf}(f) = \{(x,y)\in X \times Y\colon\, y\in fx\}$.

• Multifunkcją odwrotną do multifunkcji $f$ nazywamy multifunkcję $f^{-1}\colon f(X)\rightsquigarrow X$ taką, że

$f^{-1}y = \{ x \in X\colon\, y \in fx \}$.

• Jeśli $Z$ jest niepustym zbiorem oraz $f\colon X \rightsquigarrow Y$ i $g\colon Y \rightsquigarrow Z$ są multifunkcjami, to ich złożeniem nazywamy multifunkcję $g\circ f\colon X \rightsquigarrow Z$ daną wzorem

$(g\circ f)x= \bigcup_{y\in fx} gy$ .

Ponadto, dla multifunkcji $f\colon X \rightsquigarrow Y$ definiuje się (dla $B\subseteq Y$):

• $f^-(B)=\{x\in X\colon\, fx\cap B\neq \varnothing\}$,
• $f^+(B)=\{x\in X\colon\, fx\subseteq B\}$.

Zobacz też

• m-produkt

Bibliografia

• Geoffrey Fox, Pedro Morales. Non-Hausdorff multifunction generalization of the Kelley-Morse Ascoli theorem, Pacific J. Math. Volume 64, Number 1 (1976), 137-143. [1]