Multifunkcja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rysunek przedstawia odwzorowanie wielowartościowe – elementowi 3 przyporządkowane są dwa elementy przeciwdziedziny.

Multifunkcja a. funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X i Y będą niepustymi zbiorami. Multifunkcją f między zbiorami X i Y nazywa się przyporządkowanie każdemu x\in X niepustego zbioru fx\subseteq Y. Jeśli f jest multifunkcją między X i Y, to oznacza się to czasami symbolem

f\colon X \rightsquigarrow Y.

Dla multifunkcji definiuje się, analogicznie jak dla funkcji, pojęcia obrazu, wykresu, mutlifunkcji odwrotnej czy złożenia. Traktując multifunkcję f jako funkcję f\colon X\to \mathcal{P}(Y) pojęcia te nie pokrywają się ze swoimi klasycznymi odpowiednikami.

  • Obrazem zbioru A\subseteq X poprzez multifunkcję f nazywa się zbiór
f(A)=\bigcup_{x\in A}fx.
  • Wykresem multifunkcji f nazywamy zbiór
\mbox{Graf}(f) = \{(x,y)\in X \times Y\colon\, y\in fx\}.
  • Multifunkcją odwrotną do multifunkcji f nazywamy multifunkcję  f^{-1}\colon f(X)\rightsquigarrow X taką, że
 f^{-1}y = \{ x \in X\colon\, y \in fx \} .
  • Jeśli Z jest niepustym zbiorem oraz f\colon X \rightsquigarrow Y i g\colon Y \rightsquigarrow Z są multifunkcjami, to ich złożeniem nazywamy multifunkcję g\circ f\colon X \rightsquigarrow Z daną wzorem
(g\circ f)x= \bigcup_{y\in fx} gy .

Ponadto, dla multifunkcji f\colon X \rightsquigarrow Y definiuje się (dla B\subseteq Y):

  • f^-(B)=\{x\in X\colon\, fx\cap B\neq \varnothing\},
  • f^+(B)=\{x\in X\colon\, fx\subseteq B\}.

m-produkt[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie m-produktu rodziny zbiorów niepustych niejako "naśladuje" pojęcie produktu rodziny zbiorów.

Niech \{Y_t\colon t\in T\} będzie rodziną zbiorów niepustych. m-produktem P\{Y_t\colon t\in T\} tej rodziny nazywamy rodzinę wszystkich multifunkcji

f\colon T \rightsquigarrow \bigcup_{t\in T}Y_t.

Jeśli Y_t=Y dla każdego t\in T, to m-produkt P\{Y_t\colon t\in T\} oznaczamy symbolem Y^{mT}. Jeśli t\in T to multifunkcję \mbox{pr}_t\colon P\{Y_t\colon t\in T\}\rightsquigarrow Y_t daną wzorem

\mbox{pr}_tf=ft\,

nazywamy rzutowaniem na Y_t.

Topologia w m-produkcie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli (Y_t, \tau_t), t\in Tprzestrzeniami topologicznymi, to w m-produkcie P\{Y_t\colon t\in T\} można wprowadzić topologię poprzez analogię do topologii Tichonowa w produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Topologię tę definiuje się poprzez zadanie podbazy postaci

\{\mbox{pr}_t^-(U_t), \mbox{pr}_t^+(U_t)\colon t\in T, U_t\in \tau_t\}.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Geoffrey Fox, Pedro Morales. Non-Hausdorff multifunction generalization of the Kelley-Morse Ascoli theorem, Pacific J. Math. Volume 64, Number 1 (1976), 137-143. [1]