Nadpromienista przemiana fazowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Nadpromienista przemiania fazowa (ang. Superradiant phase transition) – w mechanice kwantowej podobna do nadprzewodnictwa i ferromagnetyzmu przemiana fazowa w układzie składającym się z materii i kwantowego pola elektromagnetycznego, polegająca na tym, że układ przechodzi do uporządkowanego stanu nadpromienistego, w którym w stanie podstawowym w odróżnieniu od normalnej próżni elektromagnetycznej istnieje znaczna gęstość uwięzionych wśród materii fotonów, a atomy pozostają na stałe w stanach silnie wzbudzonych. Oryginalnie została przewidziana w tzw. modelu Dicke, w którym zakłada się, że atomy posiadają jedynie dwa poziomy energetyczne i oddziałują one z jednym modem kwantowego pola elektromagnetycznego [1] [2]. Przemiana ta zachodzi, kiedy siła oddziaływania atomów z polem elektromagnetycznym jest większa niż energia części nieoddziałującej układu, co podobnie jak w przypadku nadprzewodnictwa i ferromagnetyzmu prowadzi do efektywnych oddziaływań dynamicznych pomiędzy atomami typu ferromagnetycznego i spontanicznego pojawienia się uporządkowania wzbudzeń poniżej temperatury krytycznej. Znaczy to, że kolektywne przesunięcie Lamba w układzie oddziałujących z fluktuacjami próżni atomów staje się porównywalne z energiami samych atomów, a fluktuacje próżni powodują spontaniczne samowzbudzenie materii. Przemiana ta może być łatwo zrozumiana stosując transformacje Holsteina-Primakoffa [3] do atomów dwupoziomowych. W wyniku tej transformacji atomy stają się oscylatorami harmonicznymi o częstości równej różnicy poziomów, a cały układ układem oddziałujących oscylatorów harmonicznych atomów i pola, czyli dielektrykiem Hopfielda przewidującym w stanie normalnym polarony dla fotonów, czyli polarytony. Jeśli teraz oddziaływanie z polem elektromagnetycznym jest tak silne, że układ zapada się i pojawiają się częstości urojone wtedy układ fizyczny ze stabilizującymi członami wyższych rzędów będzie podlegał podobnej do ferroelektrycznej przemianie fazowej[4]. W modelu tym układ matematycznie równoważny jest dla jednego modu wzbudzeń paczce trojańskiej kiedy to natężenie pola elektromagnetycznego spolaryzowanego kołowo odpowiada stałej sprzężenia elektromagnetycznego i powyżej jej wartości krytycznej przechodzi do ruchu niestabilnego (jonizacji).

Przemiana ta była przedmiotem szerokiej dyskusji czy jest wynikiem jedynie uproszczonego modelu matematycznego oddziaływania materii z polem i czy może zachodzić dla prawdziwych parametrów fizycznych układów. [5] [6] Jednak zarówno oryginalne wyprowadzenie jak też późniejsze poprawki prowadzące do nieistnienia przemiany z powodu reguły sum Thomasa-Reiche'a-Kuhna, które dla oscylatora harmonicznego skracają wymaganą nierówność to niemożliwej ujemności stałej oddziaływania były oparte na założeniu ze operatory pola elektromagnetycznego są komutującymi liczbami oraz że atomy nie oddziałują między sobą statycznymi np. dipolowymi siłami kulombowskimi co w ogólności nie jest prawdą. Obecnie może być obserwowana w układach modelowych, jak kondensaty Bosego-Einsteina i sztuczne atomy [7] [8].

Teoria[edytuj | edytuj kod]

Krytyczność w zlinearyzowanym modelu Jaynesa-Cummingsa[edytuj | edytuj kod]

Nadpromienista przemiana fazowa jest formalnie przewidziana już przez zachowanie krytyczne rezonansowego modelu Jaynesa-Cummingsa opisującego oddziaływanie nie N lecz jedynie jednego atomu z jednym modem pola elektromagnetycznego. Zaczynając od dokładnego Hamiltonianu w modelu Jaynesa-Cummingsa w stanie rezonansu

\hat{H}_{\text{JC}} = \hbar \omega \hat{a}^{\dagger}\hat{a}
+\hbar \omega \frac{\hat{\sigma}_z}{2}
+\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_-
+\hat{a}\hat{\sigma}_-
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_+\right),

stosując transformacje Holsteina-Primakoffa dla dwóch poziomów spinu i zastępując operatory podwyższające i obniżające spinu odpowiednimi operatorami kreacji i anihilacji dla oscylatora harmonicznego

\hat{\sigma}_- \approx \hat{b}
\hat{\sigma}_+\approx \hat{b}^{\dagger}
\hat{\sigma}_z\approx 2 \hat{b}^{\dagger}\hat{b}

otrzymuje się Hamiltonian dwóch sprzężonych oscylatorów harmonicznych:

\hat{H}_{\text{JC}} = \hbar \omega \hat{a}^{\dagger}\hat{a}
+\hbar \omega \hat{b}^{\dagger}\hat{b}
+\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{b}^{\dagger}
+\hat{a}^{\dagger}\hat{b}
+\hat{a}\hat{a}
+\hat{a}^{\dagger}\hat{b}^{\dagger} \right),

który łatwo może zostać zdiagonalizowany. Zakładając jego formę normalną

\hat{H}_{\text{JC}}=\Omega_+ \hat{A_+}^{\dagger}\hat{A_+}+\Omega_- \hat{A_-}^{\dagger}\hat{A_-}+C

gdzie

\hat{A_{\pm}}=c_{\pm1} \hat{a} + c_{\pm2} \hat{a}^{\dagger} + c_{\pm3} \hat{b} + c_{\pm4} \hat{b}^{\dagger}

otrzymuje się równanie na wartości własne

[\hat{A_{\pm}},\hat{H}_{\text{JC}}]=\Omega_{\pm}A

z rozwiązaniami

\Omega_{\pm}=\omega \sqrt{1 \pm \frac{\Omega}{\omega}}

System zapada się kiedy jedna z częstości staje się urojona tzn. kiedy

\Omega>\omega

lub kiedy sprzężenie atom-pole jest silniejsze niż częstość oscylatorów modu pola i atomu. Ponieważ w prawdziwym układzie fizycznym są człony wyższych rzędow w tym regionie parametrów w układzie będzie zachodziła w zależności od temperatury przemiana fazowa.

Krytyczność w modelu Jaynesa-Cummingsa[edytuj | edytuj kod]

Uproszczony Hamiltonian modelu Jaynesa-Cummingsa z pominięciem członów przeciwnie rotujących (naruszających zasadę zachowania energii) jest dany przez

\hat{H}_{\text{JC}} = \hbar \omega \hat{a}^{\dagger}\hat{a}
+\hbar \omega \frac{\hat{\sigma}_z}{2}
+\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_-\right),

oraz energie dla przypadku rezonansu poziomów z modem pola są

E_{\pm}(n) = \hbar\omega \left(n+\frac{1}{2}\right) \pm \frac{1}{2} \hbar\Omega(n),
\Omega(n) = \Omega \sqrt{n+1}

gdzie \Omega_n jest częstością Rabiego. Można wtedy w przybliżeniu policzyć sumę statystyczną rozkładu kanonicznego

 Z = \sum_{ \pm , n} \mathrm{e}^{- \beta E_{\pm}(n)} \approx \sum_{ \pm} \int \mathrm{e}^{- \beta E_{\pm}(n)} dn=\int \mathrm{e}^{\Phi (n)} dn,

gdzie dyskretna suma została zastąpiona całką. Standardowe podejście w tym przypadku polega na tym że ostatnia całka jest liczona poprzez przybliżeniu funkcji podcałkowej funkcją Gaussa wokoło maksimum wykładnika:

\frac{\partial \Phi(n)} {\partial n}=0
\Phi(n)=-\beta \hbar\omega \left(n+\frac{1}{2}\right)+\log 2 \cosh \frac{\hbar \Omega(n) \beta} {2}

Prowadzi to do równania krytycznego:

\tanh \frac{\hbar \Omega(n) \beta} {2}= 4 \frac{\omega}{\Omega}\sqrt{n+1}

Równanie to z własności funkcji hiperbolicznej \tanh ma rozwiązania tylko jeśli

\Omega>4 \omega

co znaczy ze faza normalna i nadpromienista istnieją jedynie kiedy energia oddziaływania atom-pole jest znacznie większa niż różnica poziomów energetycznych samego atomu. Kiedy ten warunek jest spełniony równanie to daje rozwiązanie na parametr porządku n w zależności od odwrotności temperatury 1/\beta poniżej temperatury krytycznej co znaczy istnienie uporządkowanego modu pola. Podobne rozważania można przeprowadzić w prawdziwej granicy termodynamicznej nieskończonej liczby atomów.


Przypisy

  1. Hepp, Klaus, Lieb, Elliott H.. On the superradiant phase transition for Molecules in a Quantized Radiation Field: Dicke Maser Model. „Annals of Physics”. 76, s. 360-404, 1973. 
  2. Wang, Y. K., Hioe, F. T. Phase Transition in the Dicke Model of Superradiance. „Physical Review A”. 7, s. 831-836, 1973. 
  3. Baksic, Alexandre, Nataf, Pierre, Ciuti, Cristiano. Superradiant phase transitions with three-level systems. „Physical Review A”. 87, s. 023813–023813-5, 2013. 
  4. Emaljanov, V. I., Klimontovicz, Yu. L.. Appearance of Collective Polarisation as a Result of Phase Transition in an Ensemble of Two-level Atoms Interacting Through Electromagnetic Field. „Physics Letters A”. 59 (5), s. 366–368, 1976. 
  5. Rzążewski, K., Wódkiewicz, K. T. Phase Transitions, Two Level Atoms, and the A^2 Term. „Physical Review Letters”. 35 (7), s. 432-434, 1975. 
  6. Bialynicki-Birula, Iwo, Rzążewski, Kazimierz. No-go theorem concerning the superradiant phase transition in atomic systems. „Physical Review A”. 19 (1), s. 301–303, 1979. 
  7. Zhang, Yuanwei, Lian, Jinling, Liang, J.-Q. i inni. Finite-temperature Dicke phase transition of a Bose-Einstein condensate in an optical cavity. „Physical Review A”. 87, s. 013616-013616-6, 2013. 
  8. Viehmann, Oliver, von Delft, Jan, Marquard, Florian. Superradiant Phase Transitions and the Standard Description of Circuit QED. „Physical Review Letters”. 107 (7), s. 113602-113602-5, 1975.