Następnik liczby kardynalnej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Operacja zdefiniowana dla liczb kardynalnych podobnie jak następnik liczby porządkowe w taki sposób, ze pomiędzy daną liczbą kardynalną κ a jej następnikiem κ+ nie ma innych liczb kardynalnych.

Operację następnika dla liczb kardynalnych definiuje się następująco:

\kappa^+ = \{ \alpha \in ON \mid  |\alpha|\le \kappa \}

gdzie ON oznacza klasę wszystkich liczb porządkowych. Łatwo udowodni się, że \kappa^+ jest liczbą porządkową, i \kappa^+ jest najmniejsza spośród liczb porządkowych o mocy większej od κ.

Następnik liczby \aleph_\alpha nazywamy \aleph_{\alpha+1} (gdzie symbol + oznacza dodawanie liczb porządkowych). Na przykład, (\aleph_0)^+ = \aleph_1 i (\aleph_1)^+ = \aleph_2.

Uwaga: Każda liczba kardynalna jest także liczbą porządkową, więc ma dwa następniki - jeden w sensie liczb kardynalnych, a drugi w sensie liczb porządkowych. Na przykład, następnik liczby kardynalnej \aleph_0 to \aleph_1 (=następna liczba kardynalna), a następnik liczby porządkowej \omega to \omega+1 (=następna liczba porządkowa).

Liczba kardynalna, która nie jest następnikiem żadnej innej liczby kardynalnej nazywana jest liczbą kardynalną graniczną. Na przykład, \aleph_\omega:= \sup\{\aleph_0,\aleph_1,\ldots\} jest pierwszą nieprzeliczalną graniczną liczbą kardynalną.