Następnik liczby kardynalnej

Operacja zdefiniowana dla liczb kardynalnych podobnie jak następnik liczby porządkowe w taki sposób, ze pomiędzy daną liczbą kardynalną κ a jej następnikiem κ⁺ nie ma innych liczb kardynalnych.

Operację następnika dla liczb kardynalnych definiuje się następująco:

$\kappa^+ = \{ \alpha \in ON \mid |\alpha|\le \kappa \}$

gdzie ON oznacza klasę wszystkich liczb porządkowych. Łatwo udowodni się, że $\kappa^+$ jest liczbą porządkową, i $\kappa^+$ jest najmniejsza spośród liczb porządkowych o mocy większej od κ.

Następnik liczby $\aleph_\alpha$ nazywamy $\aleph_{\alpha+1}$ (gdzie symbol + oznacza dodawanie liczb porządkowych). Na przykład, $(\aleph_0)^+ = \aleph_1$ i $(\aleph_1)^+ = \aleph_2$.

Uwaga: Każda liczba kardynalna jest także liczbą porządkową, więc ma dwa następniki - jeden w sensie liczb kardynalnych, a drugi w sensie liczb porządkowych. Na przykład, następnik liczby kardynalnej $\aleph_0$ to $\aleph_1$ (=następna liczba kardynalna), a następnik liczby porządkowej $\omega$ to $\omega+1$ (=następna liczba porządkowa).

Liczba kardynalna, która nie jest następnikiem żadnej innej liczby kardynalnej nazywana jest liczbą kardynalną graniczną. Na przykład, $\aleph_\omega:= \sup\{\aleph_0,\aleph_1,\ldots\}$ jest pierwszą nieprzeliczalną graniczną liczbą kardynalną.