Nawias Poissona

W mechanice klasycznej nawias Poissona dwóch funkcji 2s+1 zmiennych (gdzie s to liczba stopni swobody układu) A i B

$A=A(q_1,q_2,\ldots, q_s, \, p_1,p_2,\ldots, p_s, \, t)$

$B=B(q_1,q_2,\ldots, q_s, \, p_1,p_2,\ldots, p_s, \, t)$

jest równy

$\lbrace A,B \rbrace = \sum _{i=1}^s \Bigg ( {{\partial A} \over {\partial p_i}} {{\partial B} \over {\partial q_i}} - {{\partial A} \over {\partial q_i}} {{\partial B} \over {\partial p_i}} \Bigg )$

Jeżeli $A$ jest dowolną funkcją, a współrzędne uogólnione $q_i(t)$ i pędy uogólnione $p_i(t)$ spełniają równania kanoniczne Hamiltona, to

${{d A} \over {dt}} = {{\partial A} \over {\partial t}} + \lbrace H, A \rbrace$

(H jest funkcją Hamiltona).

Własności nawiasu Poissona

• Antysymetria

$\lbrace A, B \rbrace = - \lbrace B, A \rbrace$

• Liniowość

$\lbrace \alpha A + \beta B, C \rbrace = \alpha \lbrace A, C \rbrace + \beta \lbrace B, C \rbrace$

• Reguła Leibniza

$\lbrace AB,C \rbrace = A \lbrace B, C \rbrace + \lbrace A, C \rbrace B$

• Tożsamość Jacobiego

$\lbrace A , \lbrace B, C \rbrace \rbrace + \lbrace B, \lbrace C,A \rbrace \rbrace + \lbrace C, \lbrace A, B \rbrace \rbrace = 0$

Pochodna czasowa nawiasu Poissona

Wzór dla pochodnej cząstkowej po czasie:

${{\partial } \over {\partial t}} \lbrace A, B \rbrace = \Big \lbrace {{\partial A} \over {\partial t}}, B \Big \rbrace + \Big \lbrace A, {{\partial B} \over {\partial t}} \Big \rbrace$

Słuszny jest również wzór dla pełnej pochodnej po czasie:

${\frac{\operatorname d}{\operatorname dt}} \lbrace A, B \rbrace = \Big \lbrace \frac{\operatorname dA}{\operatorname dt}, B \Big \rbrace + \Big \lbrace A, \frac{\operatorname dB}{\operatorname dt} \Big \rbrace$

Zobacz też

• Komutator (operatorów)

Bibliografia

• L. D. Landau, E. M. Lifszic, "Mechanika. Wydanie drugie." Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN) 1965

Linki zewnętrzne

• Poisson Bracket w encyklopedii MathWorld.