Niejednorodny proces Poissona

Niejednorodny (niestacjonarny) proces Poissona – liczący proces stochastyczny

Definicja

$(N_{t})_{t\geq 0}$ nazywamy niejednorodnym procesem Poissona z funkcją intensywności $\lambda (t),t\geq 0$ jeśli:

1. $N_{0}=0.$
2. $(N_{t})_{t\geq 0}$ ma niezależne przyrosty.
3. $P(N_{t+h}-N_{t}=1)=\lambda (t)h+o(h).$
4. $P(N_{t+h}-N_{t}\geq 2)=o(h).$

Gdy $\lambda (t)=\lambda$ to otrzymujemy jednorodny proces Poissona

Funkcja średnia

Definicja. Funkcją średniej niejednorodnego procesu Poissona nazywamy funkcję $m(t)=\int _{0}^{t}\lambda (s)ds.$

Własności

Można wykazać, że $N_{t+s}-N_{t}\sim Pois(m(s+t)-m(t)).$ Widać tutaj dlaczego funkcja m nosi nazwę funkcji średniej. Mianowicie $N_{t}\sim Pois(m(t))$ oraz $E(N_{t})=m(t).$