Niejednorodny proces Poissona

Niejednorodny (niestacjonarny) proces Poissona - liczący proces stochastyczny

Definicja

$(N_t)_{t \geq 0}$ nazywamy niejednorodnym procesem Poissona z funkcją intensywności $\lambda(t), t\geq0$ jeśli:

1. $N_{0} = 0 \;$.
2. $(N_t)_{t \geq 0}$ ma niezależne przyrosty.
3. $P(N_{t+h} - N_{t} =1) = \lambda(t) h + o(h) \;$.
4. $P(N_{t+h} - N_{t} \geq 2) = o(h) \;$.

Gdy $\lambda(t) = \lambda \;$ to otrzymujemy zwykły proces Poissona

Funkcja średnia

Definicja. Funkcją średniej niejednorodnego procesu Poissona nazywamy funkcję $m(t) = \int_{0}^{t} \lambda(s) ds$

Własności

Można wykazać, że $N_{t+s}-N_{t} \sim Pois(m(s+t) - m(t)) \;$. Widać tutaj dlaczego funkcja m nosi nazwę funkcji średniej. Mianowicie $N_{t} \sim Pois(m(t)) \;$ oraz $E(N_{t})=m(t) \;$.