Nieliniowość

W algebrze liniowy operator lub funkcję $f(x)$ opisujemy w następujący sposób:

• addytywność, $\textstyle f(x + y)\ = f(x)\ + f(y);$
• homogeniczność, $\textstyle f(\alpha x)\ = \alpha f(x).$

W przypadku niespełnienia powyższych założeń mamy do czynienia z nieliniowością. W przyrodzie większość oddziaływań opisuje się właśnie funkcjami nieliniowymi. Modelowanie rzeczywistości polega jednak na wykorzystaniu jak najprostszych narzędzi matematycznych i często zdarza się opisywać zjawiska nieliniowe funkcjami liniowymi, jak na przykład prawo Hooke'a, gdzie pewien obszar dla stosunkowo małych naprężeń zachowuje się prawie liniowo.

Linearyzacja

Czasami, kiedy nieliniowość utrudnia nam rozwiązanie problemu, stosuje się linearyzację, czyli sprowadzenie modelu matematycznego do funkcji liniowych. Tworzy się to na 2 sposoby: przez przybliżanie lub ucinanie członów nieliniowych.

Przykłady linearyzacji

Wahadło matematyczne opisujące ruch punktu materialnego zawieszonego na lince wyraża się równaniem różniczkowym:$\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \sin(\theta) = 0\,$, ale gdy przyjmiemy pewne przybliżenia, kiedy $\sin(\theta) \approx \theta$ dla $\theta \approx 0$, to ostatecznie otrzymamy dobrze znane równanie oscylatora: $\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \theta = 0\,$

Rozwijając w szereg Taylora :$\ln(1+x) = x - \tfrac{x^2}{2}+ \tfrac{x^3}{3} - \cdots$ możemy zakończyć na członie liniowym i będziemy mieli równanie: $\ln(1+x) = x$

Nieliniowość w miarach zależności

Podstawową miarą zależności jest współczynnik korelacji liniowych, który określa miarę liniowych zależności między zmiennymi. W zagadnieniach analitycznych, np. w ekonomii pomija się często zależności nieliniowe i traktuje się jako zaniedbywane. Niestety jest to niewystarczające narzędzie do opisu zależności czysto nieliniowych. W przyrodzie mamy bardzo często do czynienia z wielorakimi przejawami wzajemnej zależności. Istnieje również wiele innych sposobów na uzależnienie elementów od siebie, które to tworzą strukturę-sieć. Przykładem może być łańcuch pokarmowy, który umieszcza organizm w pewnym otoczeniu innych organizmów, z którymi oddziałuje w ten sposób, że może je zjadać, bądź być zjadanym Badacz tego typu zjawisk musi wykazać się wielką wiedzą i pomysłowością, aby porządnie opisywać nielinowe zależności. Może się on posłużyć takimi miarami jak np.miara manhattan będącą sumą kwadratu odległości między zmiennymi w n-wymiarowej przestrzeni. Aby odtworzyć hierarchię można narysować drzewo minimalnego zasięgu bądź graf z zaznaczonymi ścieżkami między obiektami. Przykładem może być socjogram pokazujący zależności między ludźmi w grupie. W analizie szeregów czasowych przydają się dodatkowo narzędzia bazujące na fraktalności. Kryzys ekonomiczny roku 2007 spowodował, że zaniedbywane przez ekonomistów modele nieliniowe cieszą się teraz ogromną popularnością (klasyczna ekonomia bazuje na liniowych zależnościach, za pomocą których nie da się przewidzieć ani opisać kryzysu na taką skalę jaką był ten z 2007).

Linki zewnętrzne

• Katedra UNESCO badań nad dynamiką nieliniową we Wrocławiu
• Centrum badań nad dynamiką nieliniową w Los Alamos (ang.)

Bibliografia

• Murray J.D.2006 "Wprowadzenie do biomatematyki", Wydawnictwo naukowe PWN
• Sznajd-Weron Katarzyna, 2004 "Czy ludzi można traktować jak cząstki? - spojrzenie fizyka (PDF)"