Nieliniowość

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W algebrze liniowy operator lub funkcję f(x) opisujemy w następujący sposób:

  • addytywność, \textstyle f(x + y)\ = f(x)\ + f(y);
  • homogeniczność, \textstyle f(\alpha x)\ = \alpha f(x).

W przypadku niespełnienia powyższych założeń mamy do czynienia z nieliniowością. W przyrodzie większość oddziaływań opisuje się właśnie funkcjami nieliniowymi. Modelowanie rzeczywistości polega jednak na wykorzystaniu jak najprostszych narzędzi matematycznych i często zdarza się opisywać zjawiska nieliniowe funkcjami liniowymi, jak na przykład prawo Hooke'a, gdzie pewien obszar dla stosunkowo małych naprężeń zachowuje się prawie liniowo.

Linearyzacja[edytuj | edytuj kod]

Czasami, kiedy nieliniowość utrudnia nam rozwiązanie problemu, stosuje się linearyzację, czyli sprowadzenie modelu matematycznego do funkcji liniowych. Tworzy się to na 2 sposoby: przez przybliżanie lub ucinanie członów nieliniowych.

Przykłady linearyzacji[edytuj | edytuj kod]

Wahadło matematyczne opisujące ruch punktu materialnego zawieszonego na lince wyraża się równaniem różniczkowym:\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \sin(\theta) = 0\,, ale gdy przyjmiemy pewne przybliżenia, kiedy \sin(\theta) \approx \theta dla \theta \approx 0, to ostatecznie otrzymamy dobrze znane równanie oscylatora: \frac{d^2 \theta}{d t^2} + \theta = 0\,

Rozwijając w szereg Taylora :\ln(1+x) = x - \tfrac{x^2}{2}+ \tfrac{x^3}{3} - \cdots możemy zakończyć na członie liniowym i będziemy mieli równanie: \ln(1+x)   =   x

Nieliniowość w miarach zależności[edytuj | edytuj kod]

Podstawową miarą zależności jest współczynnik korelacji liniowych, który określa miarę liniowych zależności między zmiennymi. W zagadnieniach analitycznych, np. w ekonomii pomija się często zależności nieliniowe i traktuje się jako zaniedbywane. Niestety jest to niewystarczające narzędzie do opisu zależności czysto nieliniowych. W przyrodzie mamy bardzo często do czynienia z wielorakimi przejawami wzajemnej zależności. Istnieje również wiele innych sposobów na uzależnienie elementów od siebie, które to tworzą strukturę-sieć. Przykładem może być łańcuch pokarmowy, który umieszcza organizm w pewnym otoczeniu innych organizmów, z którymi oddziałuje w ten sposób, że może je zjadać, bądź być zjadanym Badacz tego typu zjawisk musi wykazać się wielką wiedzą i pomysłowością, aby porządnie opisywać nielinowe zależności. Może się on posłużyć takimi miarami jak np.miara manhattan będącą sumą odległości między zmiennymi w n-wymiarowej przestrzeni. Aby odtworzyć hierarchię można narysować drzewo minimalnego zasięgu bądź graf z zaznaczonymi ścieżkami między obiektami. Przykładem może być socjogram pokazujący zależności między ludźmi w grupie. W analizie szeregów czasowych przydają się dodatkowo narzędzia bazujące na fraktalności. Kryzys ekonomiczny roku 2007 spowodował, że zaniedbywane przez ekonomistów modele nieliniowe cieszą się teraz ogromną popularnością [1](klasyczna ekonomia bazuje na liniowych zależnościach, za pomocą których nie da się przewidzieć ani opisać kryzysu na taką skalę jaką był ten z 2007).

Przypisy

  1. Buda, Andrzej; Jarynowski, Andrzej (2010) Life-time of correlations and its applications,[Wrocław] : Wydawnictwo Niezależne http://th.if.uj.edu.pl/~gulakov/life_corr/

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]