Nierówność Bernoulliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Nierówność Bernoulliego – jedna z najbardziej znanych i podstawowych nierówności w matematyce. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Jakoba Bernoulliego, który wykorzystywał tę nierówność w swoich badaniach.

Sformułowanie: jeżeli  x > -1 , to:

(1+x)^{\alpha}\leqslant 1+\alpha x \;\;\; \text{dla}\;\;\; 0 < \alpha < 1

oraz:

(1+x)^{\alpha}\geqslant 1+\alpha x \;\;\; \text{dla} \;\;\; \alpha > 1

Dla \alpha = 1 obie strony nierówności są równe.

Dla  \alpha \not = 1 równość w każdej z nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  x = 0 .

Szczególny przypadek nierówności Bernoulliego otrzymuje się dla  \alpha będącego liczbą naturalną – często mianem nierówności Bernoulliego określa się tę jej szczególną wersję:

(1+x)^n \geqslant 1+nx

dla  n naturalnych.