Nierówność Cauchy'ego-Schwarza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Nierówność Cauchy'ego–Schwarza – podstawowa własność iloczynu skalarnego w przestrzeni unitarnej. Nierówność ta znana jest także pod wieloma innymi nazwami: Schwarza, Buniakowskiego–Schwarza lub Cauchy'ego–Buniakowskiego–Schwarza.

Nierówność dla sum została opublikowana w 1821 roku przez Augustina Louisa Cauchy'ego, odpowiadająca jej nierówność dla całek została przedstawiona przez Wiktora Jakowlewicza Buniakowskiego w 1859 roku i odkryta na nowo w 1888 roku przez Hermanna Amandusa Schwarza (którego nazwisko często mylnie podaje się jako „Schwartz”).

Nierówność[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \langle x, y \rangle oznacza iloczyn skalarny wektorów x, y danej przestrzeni unitarnej X, to nierównością Schwarza nazywa się nierówność

|\langle x, y \rangle|^2 \leqslant \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle,

lub, wyrażoną równoważnie za pomocą norm, nierówność

|\langle x, y \rangle| \leqslant \|x\|\|y\|,

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x i yliniowo zależne, tzn. gdy istnieje taki skalar \mathrm r, że zachodzi x = \mathrm ry lub y = \mathrm rx.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się użyteczne postaci tej nierówności:

co można zapisać zwięźlej w postaci
\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right);

Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L2 jest równoważna nierówności Höldera dla p = q = 2. Nierówność dla \mathbb R^n można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości Lagrange'a.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Nierówność jest spełniona dla y = 0, zatem można przyjąć, że \langle y, y \rangle \ne 0. Dla dowolnej liczby zespolonej \lambda jest

0 \leqslant \|x-\lambda y\|^2 = \langle x - \lambda y, x - \lambda y \rangle = \langle x, x \rangle - \bar{\lambda} \langle x, y \rangle - \lambda \langle y, x \rangle + |\lambda|^2 \langle y, y\rangle.

Wybierając

\lambda = \langle x, y \rangle \langle y, y \rangle^{-1}

otrzymuje się nierówność

0 \leqslant \langle x, x \rangle - |\langle x, y \rangle|^2 \langle y, y \rangle^{-1},

która zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

|\langle x, y \rangle|^2 \leqslant \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle,

co z uwagi na równość

\langle x, x \rangle = \|x\|^2,

jest tożsame

|\langle x, y \rangle| \leqslant \|x\|\|y\|.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]